logo
КР по геометрии ЗИМА 2015

Контрольная работа по геометрии для студентов 4 курса озо фмф специальность «Математика»

(9 семестр)

Вариант 1.

  1. Примем в качестве основных понятий только два «точка» и «прямая». Имея в виду построение планиметрии, скажем, что множество w всех точек есть «плоскость».

Примем аксиомы:

А1. Каждая прямая есть множество точек (т.е. подмножество множества w).

А2. Для любых двух отличных друг от друга точек существует одна и только одна содержащая их прямая.

А3. Каждой прямой принадлежат по меньшей мере две точки.

А4. Существует по меньшей мере три точки, не принадлежащие одной прямой.

А5. Для любой прямой p и любой точки А существует содержащая точку А прямая, параллельная прямой p.

А6. Для любой прямой p и любой точки А существует не более одной прямой, содержащей точку А, параллельной прямой p.

Построим модель плоскости w1={A,B,C,D}, где буквами будем обозначать «точки» плоскости, а «прямыми» будем называть двубуквенные множества {A,B}, {A,C}, {A,D}, {B,C}, {B,D}, {C,D}. Принадлежность понимается в теоретико-множественном смысле.

Проверьте на модели w1 непротиворечивость аксиом А1-А6.

  1. В аксиоматике 1) Г. Вейля, 2) Д.Гильберта, 3) А.В. Погорелова дайте определение следующих понятий: отрезка, концов отрезка, внутренних точек отрезка.

  2. Доказать теорему косинусов и синусов в системе аксиом Вейля.

  3. На основании I группы аксиом Гильберта докажите, что если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

  4. Решите задачу сначала в системе аксиом АтанасянаЛ.С., затем в системе аксиом Погорелова А.В.

Точка В лежит между точками А и С, точка В1 лежит между А1 и С1, АВ=А1В1, ВС=В1С1. Докажите, что АС=А1С1.

Вариант 2.

  1. Построим модель плоскости w2={A,B,C,D}, где буквами будем обозначать «точки» плоскости, а «прямыми» будем называть двубуквенные множества {A,B}, {A,C}. Принадлежность понимается в теоретико-множественном смысле.

Какие из аксиом А1-А6 выполнены на модели w2.

  1. В аксиоматике 1) Г. Вейля, 2) Д.Гильберта, 3) А.В. Погорелова дайте определение следующих понятий: луча, открытого луча, начала луча.

  2. Доказать теорему синусов в системе аксиом Вейля.

  3. Используя только аксиомы принадлежности системы аксиом Гильберта докажите, что на каждой плоскости существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

  4. Докажите в системе аксиом Вейля, что если две точки прямой принадлежат плоскости, то две точки прямой принадлежат этой плоскости.

Вариант 3.

  1. Построим модель плоскости w3={A,B,C}, где буквами будем обозначать «точки» плоскости, а «прямыми» будем называть двубуквенные множества {A,B}, {A,C}, {B,C}. Принадлежность понимается в теоретико-множественном смысле.

Какие из аксиом А1-А6 выполнены на модели w3.

  1. В аксиоматике 1) Г. Вейля, 2) Д.Гильберта, 3) А.В. Погорелова дайте определение следующих понятий: полуплоскости, открытой полуплоскости, граничной прямой.

  2. Доказать теорему о двух перпендикулярах в системе аксиом Вейля.

  3. Исходя только из аксиом I и II групп системы аксиом Гильберта, докажите, что между любыми двумя точками А и В существует по крайней мере еще одна точка.

  4. Докажите в системе аксиом Вейля, что если две прямые лежат в одной плоскости и их направляющие подпространства не совпадают, то эти прямые пересекаются.

Вариант 4

  1. Построим модель плоскости w4={A,B,C,D,E}, где буквами будем обозначать «точки» плоскости, а «прямыми» будем называть двубуквенные множества {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D},{C,E},{D,E}. Принадлежность понимается в теоретико-множественном смысле.

Какие из аксиом А1-А6 выполнены на модели w4.

  1. В аксиоматике 1) Г. Вейля, 2) Д.Гильберта, 3) А.В. Погорелова дайте определение следующих понятий: треугольника, сторон и вершин треугольника.

  2. Доказать теорему о трех перпендикулярах в системе аксиом Вейля.

  3. Используя аксиомы I и II групп системы аксиом Гильберта, докажите, что всякая прямая а, лежащая в плоскости α, разделяет множество точек плоскости, не лежащих на а, на два непустых подмножества так, сто если точки А и В принадлежат одному подмножеству, то отрезок АВ не имеет общих точек с а, если разным – то АВ имеет общую точку с прямой а.

  4. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Докажите в системе аксиом Вейля, что две различные прямые параллельны тогда и только тогда, когда они имеют общее направляющее подпространства.

Вариант 5.