Задача минимизации булевых функций в геометрической постановке.

Любая булева функция однозначно определяется множеством наборов, на которых она принимает единичное значение. Множество таких наборов обозначим через Nf. Это множество можно интерпретировать как множество вершин N-мерного куба с единичным ребром, где n-количество переменных данной функции f.

Гранью типа αi1,αi2,…,αik n-мерного куба называется множество вершин этого куба таких, что xi1=αi, xi2=αi2,…,xik=αik

Число k называется рангом грани, число (n-k)-размерность грани(число свободных переменных, нефиксированных).

Каждая грань определяет некоторый подкуб n-мерного куба, и наоборот-каждому подкубу соответствует грань.

Каждой грани соответствует элементарная &, в том смысле, что на вершинах этой грани, и только на них данная елементарная & принимает единичные значения. Соответствие между гранями и элементарными & взаимнооднозначные.

К=xi1^σi1, xi2^σi2,…,xik^σik (σijЄ{0,1})

Если задана (геометрически) некоторая грань, то соответствующая ей элементарная конъюнкция строится следующим образом:выделяются те координаты, значения которых не вершинах грани фиксированы, только эти переменные входят в элементарную &, причём входят в степени σ, где σ-значение соответствующей переменной.

Свойства введённого соответствия.

Пусть f=g∪h. Тогда:

1.Ng⊆Nf, Nh⊆Nf

2.Nf=Ng∪Nh

Пусть f=∪Ki. Тогда:1.Nki⊆Nf; 2.Nf=∪Nki

i i

Последнее соотношение 1 и 2 можно интерпретировать покрытие Nf гранями, целяком лежащими в Nf. Каждому такому покрытию соответствует представление ф-ции в виде ДНФ. Верно и обратное.

Взяли конкретное множ с куба. Его можно покрыть:

1.только вершинами;

2.только рёбрами

3.квадратные вершины

4.квадратом и ребром

Задачу минимализации числа элементарных & можно переформулировать след образом: среди всевозможных покрытий множества Nf гранями, целяком лежащие в Nf, необходимо найти покрытие с минимальным числом граней.

С увеличением размерности грани, число букв соответствующей элементарной & уменьшается. Поэтому задачу минимализации числа букв можно переформулировать следующим образом:среди всевозможных покрытий множества Nf необходимо найти такое покрытие, которое имеет минимальны й ранг.