Алгебра множеств

Пусть А — некоторое множество.

Множество всех подмножеств множества А называется булеаном на множестве А. 2^А — булеан. 2^A={{a1}, {a2}, {a3}, {a1,a2}, {a1,a3}, {a2,a3}, A, 

Мощность булеана: |2^A|=2^|A|=2^n |A|=n-мн-тво n-элементов

Алгебраическая система — это множество, наделённое некоторой структурой. Сама структура задаётся при помощи операций и возможно некоторых свойств. Если над элементами булеана, как над множеством проводить опеации объединения, пересечения, дополнения до множества А, то в результате получим подмножество множества А, то есть элементы Булеана.Такое свойство называется замкнутостью.

1.А=А

2. АА=А

3. А(ВС)=(АВ)С

4.А(ВС)=(АВ)(АС)

5.(АВ)=АВ

6. АВ=ВА

7.А(ВВ)=А

Система тождеств выбирается таким образом, что любое другое тождество является их следствием. В этом случае выбранная система тождеств называется системой аксиом, а тождество называется аксиомой.

Тождества являются следствием системы аксиом, если оно может быть получено из какой-то аксиомы путём тождественных преобразований, используя только эту систему аксиом.

(АВ)=(АВ) => АВ=(АВ)=>АВ=АВ=>АВ= АВ

Система аксиом 1-7 не единственная

1')А=А

2') АА=А

3') А(ВС)=(АВ)С

4')А(ВС)=(АВ)(АС)

5') АВ=АВ

6') АВ= ВА

Операции над множ-ми можно интерпретировать как операции над некоторыми физ. объектами, тогда система аксиом трактуется как правила тождественных преобразований физичских объектов, которые рассматриваются.