Бутылка Клейна и вывернутые поверхности

В отличие от обычной бутылки бутылка Клейна не имеет края, а еe поверхность нельзя разделить на внутреннюю и наружную. Та поверхность, которая кажется наружной, непрерывно переходит в ту, которая кажется внутренней,как переходят друг в друга две, на первый взгляд различные, "стороны" листа Мебиуса. К сожалению, в трехмерном пространстве нельзя поcтроить бутылку Клейна, поверхность которой была бы свободна от точек самопересечения.

Традиционный способ изображения бутылки Клейна показан на рис.1. Представим себе, что мы оттянули нижний конец трубки, загнули его вверх и, пропустив сквозь поверхность трубки, совместили с верхним концом. У реальной модели, изготовленной, например, из стекла, в том месте, где конец трубки проходит сквозь ее поверхность, придется оставить отверстие. Его не следует принимать во внимание: оно считается как бы затянутым продолжением поверхности бутылки. Иначе говоря, отверстия нет, есть только самопересечение поверхности бутылки. Такое самопересечение неизбежно до тех пор, пока мы имеем дело с трехмерной моделью. Если же мы представим себе, что вся поверхность погружена в четырехмерное пространство, то самопересечение можно будет полностью исключить.

Бутылка Клейна — это односторонняя поверхность без края с числом Бетти, равным 2 и хроматическим числом, равным 6.

Известный специалист по алгебраической геометрии Д. Пидо написал книгу под названием "Прекрасное искусство математики". Это великолепная книга,однако профессор Пидо, следуя установившейся традиции, допускает там неверное утверждение. Он пишет, что изготовить бутылку Клейна под силу лишь искусному стеклодуву,сделать же бутылку Клейна "из бумаги совсем невозможно". Действительно, в то время, когда профессор Пидо писал свою книгу, никто даже не пытался склеить бумажную модель бутылки Клейна. Но так продолжалось лишь до тех пор, пока за дело не взялся Стифен Барр, писатель-фантаст, а на досуге— большой любитель занимательной математики.

Барр довольно быстро придумал множество способов складывания из бумаги моделей бутылки Клейна и даже написал книгу о топологических развлечениях. В книге Барра приводигся множество новых способов, позволяющих складывать из обыкновенного листа бумаги изящные топологические модели. Из многих способов изготовления бутылки Клейна, предлагаемых Барром, мы приведём лишь один, который позволит нам продолжить манипуляции с квадратом и в то же в время наиболее точно соответствует традиционной модели, выполненной из стекла. Последовательность действий ясна из рис.2. Прежде всего перегните квадрат попалам и соедините клейкой лентой его стороны, на рисунке обозначенные точечками. На обращенной к вам половине квадрата сделайте прорезь, перпендикулярную склеенным сторонам. Расстояние между прорезью и верхним краем трубки должно быть равно примерно четверти стороны квадрата (рис.2,6). Эта прорезь соответствует "отверстию" в стенке бутылки Клейна на стеклянной модели. Согнув модель пополам вдоль пунктирной прямой А, протащите нижний край трубки сквозь прорезь (рис.2,в) и склейте друг с другом верхнее и нижнее основания трубки в соответствии со стрелками. Нетрудно видеть, что наша плоская модель, сделанная из квадратного листа бумаги, топологически эквивалентна стеклянной бутылке, изображенной На рис.1, и в сравнении с последней даже обладает одним преимуществом:в стенке бумажной модели нет заметного отверстия.

Правда, там, где поверхность самопересекается, в нашей модели (точнее, в модели Барра) есть прорезь, но легко представить себе, что края этой прорези соединены так,чтобы поверхность во всех своих точках была непрерывна и не имела края.

Разрезая бумажную модель разными способами, можно с легкостью демострировать многие удивительные свойства бутылки Клейна. Число Бетти для нее равно 2. Это нетрудно доказать, с помощью двух замкнутых разрезов, если их провести вдоль склеенных сторон квадрата. Разрезав бутылку пополам вертикальной плоскостью,вы получите два листа Мебиуса( сделанных из квадратного листа), переходящих друг в друга при зеркальном отражении. Это свойство бутылки Клейна удобнее всего демонстрировать на высокой "стройной" бутылке (рис.3), склеенной не из квадрата, а из узкого длинного прямоугольника. Разрезав такую бутылку пополам вдоль пунктирной прямой (на само деле это не прямая, а одна большая петля вокруг всей поверхности бутылки), вы обнаружите, что каждая половина представляет собой лист Мебиуса, имеющий в том месте, где ранее была прорезь, самопересечение. Однако, вынув каждый лист из принадлежащей ему половинки прорези, вы можете совсем заклеить ее, ибо она не влияет на топологические свойства листа Мебиуса.

Поскольку бутылку Клейна можно разрезать так, чтобы получились два листа Мебиуса , должна существовать и обратная операция, о которой говорится в следующем шуточном стихотворении неизвестного автора: Великий Феликс, Славный Клейн, Мудрец из Геттингена, Считал, что Мебиуса лист— Дар свыше несравненный. Гуляя как-то раз в саду. Воскликнул Клейн наш пылко: "Задача проста — Возьмем два листа И склеим из них бутылку."

Как это ни удивительно, но оказывается, что с помощью одного замкнутого разреза бутылку Клейна можно превратить не в два листа Мебиуса, а всего лишь в один. Огромное достоинство бумажных моделей Барра состоит в том, что они допускают " экспериментальный подход" к решению подобных задач. Попробуйте сообразить, как делается разрез, после которого бутылка Клейна превращается в один лист Мебиуса. Сообразите - Федоту помогите, ему напишите.