Построение треугольника Серпинского с помощью рекурсии

В 1915 году польский математик Вацлав Серпинский придумал занимательный объект, известный как решето Серпинского. Этот треугольник один из самых ранних известных примеров фракталов. Существует несколько способов построения этого фрактала. Один из них представляет следующий процесс. Берётся сплошной равносторонний треугольник, на первом шаге из центра удаляется перевёрнутый треугольник. На втором шаге удаляется три перевёрнутых треугольника из трёх оставшихся треугольников. Продолжая этот процесс, на -ом шаге удаляем перевёрнутых треугольников из центров оставшихся треугольников. Конца этому процессу не будет, и в треугольнике не останется живого места, но и на части он не распадётся - получится объект состоящий из одних только дырок. Это и есть треугольник Серпинского. Треугольник Серпинского также называют салфеткой Серпинского.

program FracSierp2;

uses CRT, Graph;

var

gd, gm : Integer;

const

iter = 5;

procedure tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);

begin

Line(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));

Line(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));

Line(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));

end;

procedure draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);

var

x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n : Real;

begin

if n > 0 then

begin

x1n := (x1 + x2) / 2;

y1n := (y1 + y2) / 2;

x2n := (x2 + x3) / 2;

y2n := (y2 + y3) / 2;

x3n := (x3 + x1) / 2;

y3n := (y3 + y1) / 2;

tr(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);

draw(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);

draw(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);

draw(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);

end;

end;

begin

gd := Detect;

InitGraph(gd, gm, '');

tr(320,10,600,470,40,470);

draw(320,10,600,470,40,470,iter);{}

ReadKey;

CloseGraph;

end.

IFS-алгоритм построения

Треугольник Серпинского также легко можно построить с помощью трех IFS-преобразований. Эти преобразования имеют вид:

Программа для построения треугольника Серпинского этим методом на языке Pascal приведена ниже.

program FracSierp;

uses CRT, Graph;

var

gd, gm : Integer;

procedure draw;

const iter = 50000;

var

t, x, y, p : Real;

k : LongInt;

mx, my, rad : Integer;

begin

mx := 320;

my := 479;

rad := my;

Randomize;

x := 0.0;

y := 0.0;

for k := 1 to iter do

begin

p := Random;

t := x;

if p >= 1/3 then

begin

x := 0.50 * x + 0.00 * y + 0.0;

y := 0.00 * t + 0.50 * y + 0.5;

end

else

if p >= 2/3 then

begin

x := 0.50 * x + 0.00 * y - 0.25;

y := 0.00 * t + 0.50 * y + 0.0;

end

else

begin

x := 0.50 * x + 0.00 * y + 0.25;

y := 0.00 * t + 0.50 * y + 0.0;

end;

PutPixel(mx + Round(rad * x), my - Round(rad * y), 2);

end;

end;

begin

gd := Detect;

InitGraph(gd,gm,'');

draw;

ReadKey;

CloseGraph;

end.

program Sierp10;

uses CRT, Graph;

var

gd, gm: Integer;

l, x, y: Real;

begin

gd:=Detect;

InitGraph(gd, gm, 'c:\bp\bgi');

x:=0; y:=0;

Randomize;

while not Keypressed do

begin

l := 2/3*pi*random(3);

x := x/2+cos(l);

y := y/2+sin(l);

PutPixel(320 + Round(x*130), 240 + Round(y*130), 14);

end;

Readkey;

CloseGraph;

end.