Связь между решениями прямой и двойственной задач

Рассмотрим пару двойственных задач, образованную основной задачей линейного программирования и двойственной к ней. Исходная задача: найти максимум функции

(43)

при условиях

(44)

(45)

Двойственная задача: найти минимум функции

(46)

при условиях

(47)

Каждая из задач двойственной пары (43) – (45) и (46), (47) фактически является самостоятельной задачей линейного программирования и может быть решена независимо одна от другой. Однако при определении симплексным методом оптимального плана одной из задач тем самым находится решение и другой задачи.

Существующие зависимости между решениями прямой и двойственной задач характеризуются сформулированными ниже леммами и теоремами двойственности.

Лемма 1. Если Х – некоторый план исходной задачи (43) – (45), a Y – произвольный план двойственной задачи (46), (47), то значение целевой функции исходной задачи при плане Х всегда не превосходит значения целевой функции двойственной задачи при плане Y, т. е.

Лемма 2. Если для некоторых планов X^* и Y^* задач (43) – (45) и (46), (47), то X^* – оптимальный план исходной задачи, а Y^* – оптимальный план двойственной задачи.

Теорема 8 (первая теорема двойственности). Если одна из задач двойственной пары (43) – (45) или (46), (47) имеет оптимальный план, то и другая имеет оптимальный план и значения целевых функций задач при их оптимальных планах равны между собой, т. е.

Если же целевая функция одной задачи из двойственной пары неограничена (для исходной (43) – (45) – сверху, для двойственной (46), (47) – снизу), то другая задача вообще не имеет планов.

Теорема 9 (вторая теорема двойственности). План задачи (43) – (45) и план задачи (46), (47) являются оптимальными планами этих задач тогда и только тогда, когда для любого выполняется равенство