Теория вероятностей и случайных функций

Вероятностями называются значения некоторой действительной функции, определенной на классе идеализированных событий, которые представляют собой результаты испытания (опыта или наблюдения).

Вероятности вводятся посредством определенных аксиом, абстрагируемых из основных свойств статистических относительных частот.

Практически понятие вероятности проявляется в том, что обычно относительная частота случайного события в каждой последовательности независимых повторных испытаний приближается к соответствующей вероятности.

Теория вероятностей занимается определением и описанием моделей, связанных с понятием вероятности. В частности, здесь рассматриваются методы вычисления вероятности некоторого события по известным или заданным вероятностям других событий, которые с ним логически связаны. Многие приложения теории вероятностей относятся к области случайных процессов (функций).

Случайный процесс есть случайная функция х(t) от независимой переменной t. Каждое испытание дает определенную функцию X(t), которая называется реализацией процесса или выборочной функцией.

Случайный процесс можно рассматривать либо как совокупность реализаций процесса X(t), либо как совокупность случайных величин, зависящих от параметра t.

При этом должны быть заданы распределения вероятностей систем случайных величин x₁ = x(t₁), х₂ = x (t₂), ... (выборочных значений) для любого конечного множества значений t₁, t₂, ... (выборочных моментов). Случайный процесс дискретен или непрерывен, если дискретно или непрерывно распределение величин х(t₁), x(t₂), ... для каждого конечного множества t₁, t₂, ... Процесс называется случайной последовательностью (процессом с дискретным временем), если независимая переменная может принимать только счетное множество значений.

Более общо случайный процесс может описываться многомерной случайной величиной х (t)  [х₁ (t), х₂ (t), …. x_j (t)], ...j= 1,n.

В большинстве приложений независимой переменной t служит время, а величина х(t) означает состояние физической системы.

Примеры: результаты последовательных наблюдений, состояния динамической системы в статистической механике, сообщения и шумы в системах связи, временные ряды в экономике, изменение параметров атмосферы планеты в космонавтике (плотность, температура, давление, скорость ветра и др.).