Типові практичні завдання поточного та підсумкового контролю знань студентів з навчальної дисципліни “математика для економістів: теорія ймовірностей та математична статистика”

1. Два маркетологи за складеним списком визначаються із планом відвідування «k» потенційних покупців. Записати простір елементарних подій, якщо відомо, що одночасно вони не працюють з одним клієнтом, а останній із покупців був виключений із списку.

2. Подія А – трейлер з імпортним вантажем прибув на склад з «k» до «k+2» години. Подія В – прийом вантажу на складі закінчився о 20:00. Записати в чому полягають події:

3. «3k» виробників отримали можливість поставляти свою продукцію до трьох супермаркетів: «Велика кишеня», «Сільпо», «Фуршет». Вважаючи рівно-можливим вибір будь-якого супермаркету, знайти ймовірність подій:

а) подія А – до «Сільпо» поставляють свою продукцію три виробники;

б) подія В – до кожного супермаркету поставляють свою продукцію рівно «k» виробників.

4. Над виготовленням приладу працюють послідовно робітників; якість приладу під час передачі наступному робітникові не перевіряється. Перший робітник допускає брак з ймовірністю , другий − з ймовірністю і т.ін. Знайти ймовірність того, що під час виготовлення приладу брак буде допущено.

5. Обчислювальна машина складається з блоків.

Надійність (ймовірність безвідмовної роботи) протягом часу першого блока дорівнює , другого − і т.ін. Блоки відмовляють незалежно один від одного. При відмові хоча б одного машина не працює. Знайти ймовірність того, що машина не відмовить в роботі за час .

6. Завод випускає певного виду вироби; кожний виріб може мати дефект з ймовірністю . Після виготовлення виріб оглядається контролерами; і-й контролер знаходить дефект, якщо він є, з ймовірністю .

У випадку виявлення дефекту вибір бракується. Знайти ймовірності подій:

А – виріб буде забраковано;

В – виріб буде забраковано другим контролером.

7. Якість виготовленого виробу контролюється двома експертами. Ймовірність забракувати дефектний виріб для першого і другого експерта дорівнюють відповідно та . Ймовірності помилкового бракування виробу, що не має дефекту, дорівнюють відповідно , . Знайти ймовірність подій А, В.

8. Приклад складається з блоків; відмова у роботі хоча б одного блоку означає відмову роботи приладу в цілому. Блоки виходять з роботи незалежно один від одного. Надійність (ймовірність безвідмовної роботи) кожного блоку . Знайти надійність приладу в цілому.

Якою повинна бути надійність кожного блоку для забезпечення заданої надійності системи?

9. Для збільшення надійності приладу він дублюється -им іншими такими ж приладами (див. рис.). Надійність кожного приладу . Знайти надійність системи.

Скільки потрібно взяти приладів, щоб збільшити надійність до заданої ?

10. У технічній системі дубльовані не всі, а тільки деякі (найменш надійні) вузли. Надійності вузлів показано на рисунку.

Визначити надійність системи.

11. Виготовлений виріб надходить споживачеві, якщо під час перевірки він буде визнаний стандартним. Ймовірність виготовлення бракованого виробу – 0,2; у результаті перевірки бракований виріб помилково приймається за стандартний з ймовірністю 0,05, а стандартний може бути прийняти за бракований з ймовірністю 0,01. Знайти ймовірність подій:

а) = споживач отримав стандартний виріб ;

б) = споживач отримав бракований виріб ;

в) = виготовлено стандартний виріб ;

г) = під час перевірки виріб признано стандартним ;

12. Судно, що працює на контейнерній лінії заходить протягом 2 тижнів до 4 морських портів, при цьому ймовірність демереджу(штрафу) по відправленню судна в кожному порту оцінюється p. Обчислити ймовірність відсутності штрафів по судну протягом місяця (два маршрути).

13. Ймовірність поставки на меблеву фабрику сировини з регіонів становить: p₁ - з відстані до 100 км, p₂ - з відстані до 200 км, p₃ - з відстані більше 200 км. Знайти ймовірність, що фабрика буде купувати сировину:

а) тільки з відстані до 100 км;

б) тільки з одного регіону;

в) як мінімум з двох регіонів.

14. Авіаперевезення пасажирів через АП «Бориспіль» на Лондон розподіляється наступним чином: «Міжнародні авіалінії України» - (30+k)%, «Аеросвіт» - (40+m)%, іншими авіалініями - (30-k-m)%. Знайти ймовірність того, що з двох пасажирів, які прямують до Лондона: а) один обслуговується «Аеросвітом»,

б) обидва пасажири будуть обслуговуватися однією авіакомпанією.

15. Прилади одного найменування виготовляються двома заводами;

перший завод постачає всіх виробів, другий . Надійність (ймовірність безвідмовної роботи) приладу, виготовленого першим заводом, дорівнює ; другим - .

Знайти надійність одного приладу, виготовленого заводами.

16. Є дві партії виробів; перша партія складається з N виробів, серед яких бракованих; друга з виробів, серед яких бракованих. З першої партії береться випадковим чином виробів, а з другої виробів . З нової партії береться навмання один виріб. Знайти ймовірність того, що виріб буде дефектним.

17. На радіолокаційний пристрій надходить шум, що містить корисний сигнал, з ймовірністю . Якщо з шумом надходить корисний сигнал, то пристрій зареєструє наявність якогось сигналу з ймовірністю ; якщо надходить тільки шум – з ймовірністю . Відомо, що пристрій зареєстрував наявність сигналу. Знайти ймовірність того, що в його складі є корисний сигнал.

18. Довгострокова практика рекламування нових видів товарів показала, що після проведення рекламної компанії 5% чоловіків, 10% жінок бажали б придбати новий вид продукції. Числа чоловіків і жінок у місті, в якому проводилось таке статистичне дослідження, відносяться як 4 : 6.

Яка ймовірність того, що випадково вибраний покупець, що придбав новий рекламований продукт, буде жінкою?

19. Пасажир може звернутись за отриманням квитка в одну з трьох кас. Ймовірності звернення в кожну касу залежать від їх місцезнаходження і дорівнюють відповідно .

Ймовірності того, що до моменту приходу пасажира квитки в касі будуть розпродані, дорівнюють відповідно .

Пасажир придбав квиток. Знайти ймовірність того, що це відбулось у першій касі?

20. Завод виготовляє вироби, кожний з яких з ймовірністю (незалежно від інших) виявляється дефектним. Під час огляду дефект, якщо він є, виявляється з ймовірністю . Для контролю продукції заводу вибирається виробів. Знайти ймовірність наступних подій:

а) А – на жодному з виробів дефект не буде виявлено;

б) В – серед виробів рівно в двох буде виявлено дефект;

в) С – серед виробів менш ніж у двох буде виявлено дефект.

21. Протягом часу експлуатується приладів. Кожний з приладів має надійність і виходить з ладу не залежно від інших. Знайти ймовірність того, що майстер, якого викликали під кінець часу для ремонту несправних приладів, не встигне з ремонтом за час , якщо на ремонт кожного з несправних приладів йому необхідно час .

22. Фірма з продажу одягу вивчає причини, з яких покупці, що прийшли з наміром щось придбати, не зробили жодної покупки. Виявилось, що 40% потенційних покупців не підійшли ціни, 30% не задовольнив дизайн, 20% були не задоволені якістю, а 10% не знайшли потрібного розміру.

а) яка ймовірність того, що в групі з 10 відвідувачів, що не зробили жодної покупки, буде рівно два покупці для яких не підійшли ціни.

б) яка ймовірність того, що в групі з 10 відвідувачів, що не зробили жодної покупки, буде принаймні два, що не знайшли потрібного розміру?

в) яка ймовірність того, що в групі з 10 відвідувачів, що не зробили жодної покупки, буде рівно один, що не знайшов потрібний фасон, два – не задоволені якістю, п’ять – не задоволені цінами і три не знайшли потрібного розміру?

23. Робота агента з запрошень потенційних покупців тайм-шер вважається задовільною, якщо за його запрошенням за день на презентацію прийде більше 10 покупців. Вважаємо, що людина, до якої звернеться агент з запрошенням, з ймовірністю 0,1 прийде на презентацію. Знайти ймовірність того, що робота агента буде признана задовільною, якщо агент звернеться з пропозицією до 40 перехожих.

24. По каналу зв’язку передається 20 знаків. Ймовірність спотворення знака 0,01. Знайти ймовірність того, що буде спотворено не більше двох знаків.

25. Автомобіль проходить технічне обстеження і обслуговування. Число неполадок, що виявляються після технічного обстеження, розподіляються по закону Пуассона з параметром . Якщо неполадок не виявлено, то технічне обслуговування автомобіля продовжується в середньому 2 години. Якщо виявлені одна чи дві неполадки, то на усунення кожної з них витрачається у середньому ще півгодини. Якщо виявлено більше двох неполадок, то автомобіль ставиться на профілактичний ремонт, де він знаходиться у середньому 4 години. Визначити закон розподілу середнього часу обслуговування і ремонту автомобіля і його математичне сподівання .

26. Плануючи свою діяльність по одному з видів ризикового страхування з розміром страхової суми 1000 грн, нетто-ставкою 0,02 і ймовірністю настання події страхування 0,01, страхова компанія бажала б отримати прибуток не менше 100000 грн. Яке мінімальне число договорів вона повинна заключити, щоб отримати вказаний прибуток з ймовірністю не менше 0,99, якщо розмір страхового внеску 50 грн.?

27. Плануючи свою діяльність по одному з видів ризикового страхування з середнім розміром страхової суми 1000 грн, ймовірністю настання страхового випадку 0,05 і очікуваною кількістю договорів 1200, страхова компанія бажала б отримати прибуток не менше 100000 грн. Якою повинна бути мінімальна величина страхового тарифу, щоб компанія могла отримати вказаний розмір прибутку з ймовірністю не менше 0,99?

28. Потік заявок, що надходять на телефонну станцію представляють собою найпростіший (стаціонарний пуассонівський) потік. Математичне сподівання числа викликів за час дорівнює 30. Знайти ймовірність того, що за хвилину надійде не менше двох викликів.

29. Продавець тортів оцінює, скільки тортів продається за день. Він знає, що число тортів, потрібних на день, є випадковою величиною з законом розподілу

Продавець отримує 4 грн прибутку з кожного торта. Якщо торт не продано протягом двох днів, то (за санітарними нормами) він повинен бути списаний, при цьому продавець втрачає 3 грн. Продавець бажає максимувати середній прибуток. Скільки тортів він повинен замовляти?

30. Є лампочок, кожна з яких з ймовірністю має дефект. Лампочку вкручують у патрон і подають напругу; після чого дефектна лампочка відразу перегорає і замінюється іншою. Розглядається випадкова величина - число лампочок, які будуть випробувані. Побудувати ряд розподілу і знайти математичне сподівання .

31. Електронна лампа працює протягом випадкового часу , розподіленого за показниковим законом:

Знайти ймовірність того, що за час :

а) лампу замінять;

б) лампу замінять три рази;

в) лампу замінять не менше трьох разів.

32. Під час роботи приладу виникають випадкові неполадки; середнє число неполадок, що виникають за одиницю часу роботи приладу ; число неполадок за час роботи приладу – випадкова величина, розподілена за законом Пуассона з параметром . Для усунення неполадок (ремонту) необхідний час − випадкове значення; цей час розподілений за показниковим законом:

Випадкові величини теорем усунення неполадок - незалежні. Знайти: а) середній проміжок часу, протягом якого прилад буде працювати; знаходитись у ремонті;

б) середній інтервал часу між двома неполадками.

33. Бракування шариків для підшипників проводиться наступним чином:

Якщо шарик не проходить через отвір діаметром , але проходить через отвір діаметром , то його розмір вважають прийнятим. В іншому випадку шарик бракується. Відомо, що діаметр шарика є нормально розподіленою випадковою величиною з характеристиками і .

Визначити ймовірність того, що шарик буде забраковано.

34. Випадкова величина X має рівномірний розподіл з математичним сподіванням і дисперсією . Знайти функцію розподілу випадкової величини X.

35. Автобуси деякого маршруту йдуть чітко за розкладом. Інтервал руху – 5 хв.

Знайти ймовірність того, що пасажир, який підійде до зупинки буде чекати автобус менше 3 хв.

36. Функція f задана у вигляді:

f

Знайти: а) значення постійної А, при якому функція буде щільністю розподілу ймовірностей деякої випадкової величини X;

б) формулу функції розподілу ; в) обчислити ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення на проміжку [2; 3]; г) знайти математичне сподівання та дисперсію випадкової величини X.

37. Передаються два SMS–повідомлення, кожне з яких незалежно одне від одного може бути не отриманим. Імовірність того, що перше повідомлення не буде отримане, дорівнює 0,1, а друге – 0,2. Визначимо систему двох випадкових величин .

, якщо перше SMS-повідомлення отримане,

, якщо перше SMS-повідомлення не отримане,

, якщо друге SMS-повідомлення отримане,

, якщо друге SMS-повідомлення не отримане.

Знайти закон сумісного розподілу системи , .

38. Із чотирьох студентів КНЕУ, два з яких навчаються на обліково-економічному факультеті, один на фінансовому та один – на факультеті МЕіМ, банк обирає на роботу лише двох. Ймовірність працевлаштування для кожного студента вважаємо однаковою. Випадкова величина - кількість обраних студентів з фінансового факультету, - кількість обраних студентів з факультету МЕіМ. Скласти закон розподілу для системи . Знайти закони розподілу і ; . Чи залежні величини і - ?

39. Фармацевтична компанія розробила три нові препарати. За результатами фінансово-економічного аналізу, прибуток компанії гарантує масовий випуск хоча б двох із трьох нових препаратів. Масовий випуск кожного препарату гарантує прибуток лише з ймовірністю 0,8. Ймовірність запуску до масового виробництва для кожного препарату дорівнює 0,4. - загальна кількість препаратів, які допущені до масового виробництва, - стан прибутковості компанії ( , якщо компанія не тримала прибуток; , якщо прибуток отримано).

а) Скласти закон розподілу

б)

в) Обчислити . Записати кореляційну матрицю.

г) Обчислити ймовірність події , та дати її ймовірнісне тлумачення.

40. Система двох дискретних випадкових величин задана законом розподілу у вигляді таблиці:

Необхідно:

а) обчислити а;

б) для кожної випадкової величини і , які складають систему, знайти безумовний закон розподілу, математичне сподівання, дисперсію, середньо-квадратичне відхилення, одновимірну функцію розподілу та її графік;

в) побудувати двовимірну функцію розподілу , обчислити ймовірність події .

г) знайти координати центра розсіювання та саме розсіювання випадкової точки у напрямку та навколо центру розсіювання на площині .

д) записати кореляційну матрицю, обчислити коефіцієнт кореляції системи.

ж) обчислити умовні математичні сподівання та , побудувати умовні закони розподілу та .

з) знайти рівняння лінії регресії на , та показати цю лінію регресії.

41. Двовимірна випадкова величина розподілена рівномірно в колі радіуса R=1. Знайти: а) вираз сумісної щільності і функції розподілу двовимірної випадкової величини (X, Y); б) щільності ймовірності та функції розподілу одновимірних випадкових величин (X, Y); в) ймовірність того, що відстань від точки (X, Y) до початку координат буде менша .

42. На космічному кораблі встановлено лічильник Гейгера для визначення числа космічних частинок, що попадають в нього за деякий випадковий інтервал часу . Потік космічних частинок – пуассонівський з щільністю ; кожна частинка реєструється лічильником з ймовірністю . Лічильник включається на час , розподілений за показниковим законом з параметром . Випадкова величина - число зареєстрованих частинок. Знайти закон розподілу і характеристики ; випадкової величини .

43. Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини , якщо щільність розподілу ймовірностей випадкової величини є f на проміжку .

44. Знайти закон розподілу суми двох випадкових величин, розподілених рівномірно на проміжку[0; 1].

45. Середня кількість викликів, які надходять на комутатор заводу протягом години, дорівнює 300. Оцінити ймовірність того, що протягом наступної години кількість викликів на комутатор: а) буде більше 400; б) буде не більше ніж 500.

46. Сума всіх вкладів відділення банку складає 2 млн. умовних одиниць, а ймовірність того, що випадково обраний вклад не перевищує 10000 умовних одиниць, дорівнює 0,6. Що можна стверджувати про кількість вкладників?

47. Задана генеральна сукупність з 20 елементів.

Необхідно:

а) побудувати статистичний розподіл вибірки та його емпіричну функцію розподілу; б) обчислити числові характеристики вибірки: середнє, дисперсію і середнє квадратичне відхилення та зробити з їх допомогою висновок про генеральну сукупність; в) побудувати полігони частот і відносних частот та гістограму, розбиваючи інтервал на 4 рівних проміжки; г) знайти моду, медіану, розмах і коефіцієнт варіації.

48. Знайти мінімальний об’єм вибірки, при якому з надійністю 0,95 точність оцінки математичного сподівання нормально розподіленої генеральної сукупності за вибірковою середньою дорівнює 2, якщо відоме середнє квадратичне відхилення генеральної сукупності .

49. Знайти довірчі інтервали надійності і для нормально розподіленої випадкової величини Х з функцією розподілу .

50. Задана генеральна сукупність. За допомогою критерію Пірсона перевірити гіпотезу про нормальний закон розподілу при рівні значущості :