ВСТУП

В геометрії основну роль відіграють різні перетворення фігур. У курсі геометрії більш докладно вивчаються рухи і гомотетії, а також їх застосування. Важливою особливістю цих перетворень є збереження ними природи найпростіших геометричних образів: прямі переводяться в прямі, а кола в кола. Інверсія являє собою більш складне перетворення геометричних фігур, при якому прямі вже можуть переходити в кола, і навпаки. При цьому твердження про те, що прямі й площини - це кола і сфери,які проходять через деяку «ідеальну» точку, що називається «нескінченно віддаленою точкою» може бути замінене на досить зрозуміле твердження про те, що прямі й площини являють собою «кола і сфери нескінченного радіуса». Такий підхід дозволяє дати в застосуванні до завдань елементарної геометрії одноманітну методику вивчення. Це, перш за все відноситься до завдань на побудову і до деяких задач на доведення. Слід зазначити, що розгляд зазначених розділів елементарної геометрії без застосування інверсії повязане із залученням різноманітних, здебільшого штучних побудов, що носять частинний характер, тобто використовуються лише в певних задачах. Тому цікаво було б дізнатися поняття, властивості інверсії і навчитися застосовувати ці знання на практиці. Зі сказаного випливає актуальність теми курсової роботи.

Мета роботи - познайомитись з поняттям інверсії на площині, вивчити властивості інверсії, навчитися будувати образи фігур при інверсії і застосовувати ці знання при розвязанні задач на побудову і на доведення.

Тому в процесі виконання курсової роботи необхідно буде вирішити наступні завдання:

1. Дати визначення інверсії на площині.

2. Вивчити основні властивості інверсії на площині.

3. Вивести формули аналітичного задання інверсії на площині.

4. Навчитися будувати образи точок, прямих і кіл при інверсії.

5. Виявити властивості кутів і відстаней між точками при інверсії.

6. Вивчити ортогональні і інваріантні окружності інверсії.

8. Навчитися розвязувати задачі на побудову і на доведення за допомогою інверсії.

Обєктом дослідження є інверсія на площині, предметом дослідження - властивості інверсії і можливість їх застосування до розвязання задач на побудову і доведення.

Значимість результатів, отриманих в роботі, полягає в тому, що:

* Виділено основні поняття, повязані з інверсією.

* Наведено доведення властивостей інверсії на площині і деяких теорем, повязаних з інверсією.

* Знайдено образи прямої і кола при інверсії.

* Наведено приклади розвязання задач на побудову і на доведення за допомогою інверсії.