Інверсія на площині

курсовая работа

1.6 Властивості кутів і відстаней при інверсії

Інверсія володіє чудовою властивістю: вона зберігає величину кута між лініями. Кут між двома лініями дорівнює куту між їх образами при інверсії. Це властивість називається властивістю конформності інверсії.

Доведення

Так як кут між двома кривими за визначенням дорівнює куту між дотичними прямими до цих кривих в їх спільній точці, то достатньо довести сформульовану властивість конформності для двох прямих і їх образів при інверсії.

Якщо обидві дані прямі проходять через центр інверсії, то доводити нічого.

Рис. 8

Якщо одна з даних прямих а і b містить центр О інверсії, а інша його не містить, то перша відображається на себе, а друга - на коло, що проходить через точку О (рис. 8). Дотична до кола в точці О паралельна прообразу кола, звідки і випливає рівність кутів (a, b) =(a, b). Коли центр О інверсії не належить жодній з даних прямих а і b, то їх образами будуть два кола а і b, що перетинаються в центрі О інверсії і деякій точці Р - образі точки Р перетину даних прямих а і b. Кути між колами а і b в точках О і Р рівні. Тому можна розглядати кут між дотичними а і b в точці О. А ці дотичні паралельні відповідно даним прямим а і b (рис. 9).

Рис. 9

Зокрема, якщо дві дані прямі, два кола, пряма і коло ортогональні, то їх образи при інверсії також ортогональні.

Якщо два даних кола дотикаються, то їх образами будуть або два кола, що дотикаються, або коло і пряма, що дотикаються, або дві паралельні прямі.

Зясуємо, як змінюється при інверсії відстань між двома точками. Нехай А і В - дві довільні точки площини, А і В - точки, в які вони переходять при інверсії з центром О (відмінних від А і від В) і степенем k=R2 (рис. 10). Трикутники ОАВ, ОВА будуть подібні, так як АОВ=BOA і (ОА*ОА=OB*OB = k).

Рис. 10

Отже, , звідки . Зробимо заміну ОВ на . Отримаємо шукану формулу:

(9)

Із рівняння відстані між точками А и В, що отримуються при інверсії з даних точок А і В, випливає однин цікавий наслідок. Складним відношенням чотирьох точок A, В, С и D площини назвемо додатнє число .

Доведемо, що інверсія володіє наступною властивістю:

Теорема 7

Складне відношення чотирьох точок площини зберігається при інверсії.

Доведення

Нехай точки А, В,С і D переходять при інверсії в точки А, В, С і D. У такому випадку формула (9) дає:

*, *, *,

*, отже,

, , звідки

,

що і потрібно було довести.

Зазначимо, що дана властивість інверсії на має сенсу, якщо одна з розглянутих чотирьох точок співпаде з центром інверсії.

Делись добром ;)