2.1 Основные понятия

Квадратным уравнением называют уравнения вида

ax?+bx+c = 0,

где коэффициенты a, b, c - любые действительные числа, причём a ? 0.

Квадратное уравнение называют приведённым, если его старший коэффициент равен 1.

Пример:

x² + 2x + 6 = 0.

Квадратное уравнение называют не приведенным, если старший коэффициент отличен от 1.

Пример:

2x² + 8x + 3 = 0.

Полное квадратное уравнение - квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых, иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля.

Пример:

3x² + 4x + 2 = 0.

Неполное квадратное уравнение - это квадратное уравнение, у которого хотя бы один коэффициент b, c равен нулю.

Таким образом, выделяют три вида неполных квадратных уравнений:

1) ax? = 0 (имеет два совпадающих корня x = 0).

2) ax? + bx = 0 (имеет два корня x₁ = 0 и x₂ = -)

Пример:

x² + 5x = 0

x(x+5) =0

x₁= 0, x₂ = -5.

Ответ: x₁=0, x₂= -5.

3) ax? + c = 0

Если -<0 - уравнение не имеет корней.

Пример:

5x² + 6 = 0

Ответ: уравнение не имеет корней.

Если -> 0, то x_1,2 = ±

Пример:

2x² - 6 = 0

х²=±

х_1,2=±

Ответ: х_1,2=±

Любое квадратное уравнение можно решить через дискриминант (b? - 4ac). Обычно выражение b? - 4ac обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнение ax? +bx + c = 0 (или дискриминантом квадратного трёх члена ax? + bx + c)

Пример:

х² +14x - 23 = 0

D = b² - 4ac = 144 + 92 = 256

x_1,2 =

x₁ =

x₂ =

Ответ: x₁ = 1, x₂ = - 15.

В зависимости от дискриминанта уравнение может иметь или не иметь решение.

1) Если D < 0, то не имеет решения.

2) Если D = 0, то уравнение имеет два совпадающих решения x_1,2 =

3) Если D > 0, то имеет два решения, находящиеся по формуле:

x_1,2 =