Квадратные уравнения и уравнения высших порядков

реферат

2.10 Возвратные уравнения

Возвратное уравнение - алгебраическое уравнение

а0хn + a1xn - 1 + … + an - 1x + an =0,

в котором ак = an - k, где k = 0, 1, 2 …n, причем, а ? 0.

Задачу нахождения корней возвратного уравнения сводят к задаче нахождения решений алгебраического уравнения меньшей степени. Термин возвратные уравнения был введён Л. Эйлером.

Уравнение четвёртой степени вида:

ax4 + bx3 + cx2 + bmx + am? = 0, (a ? 0).

Приведя это уравнение к виду

a (x? + m?/x?) + b(x + m/x) + c = 0, и y = x + m/x и y? - 2m = x? + m?/x?,

откуда уравнение приводится к квадратному

ay? + by + (c-2am) = 0.

Пример:

4 + 5х3 - 14х2 - 10х + 12 = 0

Разделив его на х2, получим эквивалентное уравнение

2 + 5х - 14 - 5 ? , или

Где и

3(y2 - 4) + 5y - 14 = 0, откуда

y1 = y2 = -2, следовательно

и , откуда

х1,2 =

х3,4 =

Ответ: х1,2 = х3,4 = .

Частным случаем возвратных уравнений являются симметричные уравнения. О симметричных уравнениях третей степени мы говорили ранее, но существуют симметричные уравнения четвертой степени.

Симметричные уравнения четвертой степени.

Если m = 1, то это симметричное уравнение первого рода, имеющее вид

ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 и решающееся новой подстановкой

y =

2) Если m = -1, то это симметричное уравнение второго рода, имеющее вид

ax4 + bx3 + cx2 - bx + a = 0 и решающееся новой подстановкой

y =

Делись добром ;)