2.10 Возвратные уравнения
Возвратное уравнение - алгебраическое уравнение
а0хn + a1xn - 1 + … + an - 1x + an =0,
в котором ак = an - k, где k = 0, 1, 2 …n, причем, а ? 0.
Задачу нахождения корней возвратного уравнения сводят к задаче нахождения решений алгебраического уравнения меньшей степени. Термин возвратные уравнения был введён Л. Эйлером.
Уравнение четвёртой степени вида:
ax4 + bx3 + cx2 + bmx + am? = 0, (a ? 0).
Приведя это уравнение к виду
a (x? + m?/x?) + b(x + m/x) + c = 0, и y = x + m/x и y? - 2m = x? + m?/x?,
откуда уравнение приводится к квадратному
ay? + by + (c-2am) = 0.
Пример:
3х4 + 5х3 - 14х2 - 10х + 12 = 0
Разделив его на х2, получим эквивалентное уравнение
3х2 + 5х - 14 - 5 ? , или
Где и
3(y2 - 4) + 5y - 14 = 0, откуда
y1 = y2 = -2, следовательно
и , откуда
х1,2 =
х3,4 =
Ответ: х1,2 = х3,4 = .
Частным случаем возвратных уравнений являются симметричные уравнения. О симметричных уравнениях третей степени мы говорили ранее, но существуют симметричные уравнения четвертой степени.
Симметричные уравнения четвертой степени.
Если m = 1, то это симметричное уравнение первого рода, имеющее вид
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 и решающееся новой подстановкой
y =
2) Если m = -1, то это симметричное уравнение второго рода, имеющее вид
ax4 + bx3 + cx2 - bx + a = 0 и решающееся новой подстановкой
y =
- Введение
- Глава 1. История квадратных уравнений и уравнений высших порядков
- 1.1 Уравнения в Древнем Вавилоне
- 1.2 Уравнения арабов
- 1.3 Уравнения в Индии
- 2.1 Основные понятия
- 2.2 Формулы четного коэффициента при х
- 2.3 Теорема Виета
- 2.4 Квадратные уравнения частного характера
- 2.5 Формула Виета для многочленов (уравнений) высших степеней
- 2.6 Уравнения, сводимые к квадратным (биквадратные)
- 2.7 Исследование биквадратных уравнений
- 2.9 Симметричные уравнения третей степени
- 2.10 Возвратные уравнения
- 2.11 Схема Горнера
- Заключение