§ III.1 Основные понятия

Диофантовыми уравнениями называют уравнение, которое должно быть решено в целых числах.

Ни одна из областей теории чисел не сталкивается с такими трудностями, как теория диофантовых уравнений. С помощью различных искусственных приемов установлено много результатов, связанных с отдельными уравнениями вида , и т.д. , но весьма затруднительным является объединить эти результаты в общую теорию. Иногда удается создать общую теорию, связанную с найденным решением, разумно объясняющую возникновение этого решения и показывающую, насколько найденное решение можно обобщить. Но внутренние трудности предмета настолько велики, что область применения такой теории обычно очень ограничена. Если получается развить достаточно глубокую теорию диофантовых уравнений специального вида, например, теорию квадратичных форм, то такая теория выделяется как самостоятельная.

Существует несколько диофантовых уравнений, допускающие элементарное исследование, где возможно указаны общие теории, связанные с этими уравнениями. Например, уравнение

Это уравнение интересовало греческих математиков в связи с Теоремой Пифагора, и его общее решение дал Евклид:

После разделения уравнение на , получим

Эта задача сводится к нахождению решения в рациональных и , где , , т.е.

Поделив его на , получим

Теперь если заменить , то ,то и будут рациональными функциями от : ,

О решении неопределенных уравнений.

Диофантовым уравнением называется алгебраическое уравнение с двумя или более неизвестными с целыми коэффициентами, решение которых ищется в целых или рациональных числах.

Например, уравнение имеет решение ; вообще же его решениями служат целые числа вида .

В настоящее время сведения из задач решения неопределенных уравнений формулируется так: пусть дано многочленов от переменных, с коэффициентами из некоторого поля . требуется найти множество всех рациональных решений системы

(1)

и определить его алгебраическую структуру. При этом решение называется рациональным, если все .

Множество , разумеется, зависит от поля . Так, уравнение не имеет ни одного рационального решения в поле рациональных чисел, но имеет бесконечно много решений в поле , т.е. в множестве чисел вида , где и рациональные числа.

Наиболее важным для теории чисел являются случаи когда 1) , где поле рациональных чисел, или 2) есть поле вычетов по простому модулю .

Диофант рассматривал первый из этих случаев. В дальнейшем будем всегда считать, что . Ограничимся рассмотрением только этих задач Диофанта, которые сводятся к одному уравнению с двумя неизвестными, т.е. к случаю ;

.

Это уравнение определяет на плоскости алгебраическую кривую . Рациональное решение (2) будем называть рациональной точкой кривой . В дальнейшем нередко будем прибегать к языку геометрии, хотя Диофант нигде его не применяет. Однако геометрический язык стал в настоящее время столь неотъемлемой частью математического мышления, что многие факты будет легче понять и объяснить с его помощью.

Прежде всего необходимо дать какую-нибудь классификацию уравнений (2) или, что то же, алгебраических кривых. Наиболее естественной и ранее всего возникшей является классификация их по порядкам. Порядком кривой (2) называется максимальный порядок членов многочлена , где под порядком членов понимается сумма степеней при и . Геометрический смысл этого понятия в том, что прямая пересекается с кривой порядка ровно в точках. При подсчете точек надо, разумеется, учитывать кратность точек пересечении, и также комплексные и «бесконечно удаленные» (см. далее) точки. Так, например, окружность и прямая пересекаются в двух комплексных точках, а гипербола и прямая в двух бесконечно удаленных точках, та же гипербола с прямой имеет одну общую точку кратности 2.

Однако, для целей диофантова анализа (такое название получила область математики, выросшая из задач решения неопределенных уравнений; впрочем, теперь ее чаще называют диофантовой геометрией) классификация по порядкам оказалась слишком грубой.

Например, пусть дана окружность (см. рис.1.) с: и любая прямая с рациональными коэффициентами, например, . Покажем, что рациональные точки этой окружности и прямой можно поставить во взаимно однозначное соответствие.

Это можно сделать, например, так: закрепим точку окружности и поставим в соответствие каждой рациональной точке прямой точку окружности , лежащую на пересечении и прямой . То, что координаты точки будут рациональными, предоставим аналогичное доказательство у Диофанта.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1.

Очевидно, что такое же соответствие можно установить между рациональными точками любого канонического сечения, если на нем лежит хотя бы одна рациональная точка, и рациональной прямой.

Мы видим, что с точки зрения диофанотова анализа окружность и прямая неотличимы; множества их рациональных решений эквивалентны. И это несмотря на то, что порядки обоих кривых различны.

Более тонкой является классификация алгебраических кривых по родам, которая была введена только в XIX веке Абелем и Риманом. Эта классификация учитывает число особых точек кривой .

Будем считать, что в уравнении (2) кривой многочлен неприводим над полем рациональных чисел, т.е. он не раскладывается в произведение многочленов с рациональными коэффициентами. Как известно, уравнение касательной к кривой в точке будет

,

Где

.

Если в точке производная или отлична от нуля, то угловой коэффициент касательной имеет вполне определенное значение (если , а , то и касательная в будет вертикальной).

Если в точке обе частные производные обращаются в нуль,

, и ,

то точка называется особой.

Например, у кривой точка будет особой, т.к. в ней и обращаются в нуль.

Наиболее простым из диофантовых уравнений является неопределенное уравнение первой степени с двумя неизвестными, имеющий вид

,

где и заданные целые числа.

Если , то уравнение имеет целые решения, которые в общем виде записываются так :

или при отрицательном удобно брать:

В этих формулах решения и -пара частных целых значений и , удовлетворяющих уравнению, и произвольное целое число.

Если и не делится на то уравнение не имеет решений в целых числах.

В теории неопределенных уравнений первой степени известны несколько способов отыскания пары частных значений неизвестных, удовлетворяющих уравнению.

При помощи сравнений, например, эта пара частных значений находится так: исходя из уравнения , записывается сравнение , где берется со знаком плюс, значение , удовлетворяющее сравнению, берется в качестве , а значение обычно находится непосредственно после подстановки в него найденного значения .