Глава II. Некоторые диофантовы уравнения

Диофантово уравнение – это уравнение вида P(x₁ , … , x_n) = 0, где левая часть представляет собой многочлен от переменных x₁ , … , x_n с целыми коэффициентами. Любой упорядоченный набор (u₁ ; … ; u_n) целых чисел со свойством P(u₁ , … , u_n) = 0 называется (частным) решением диофантова уравнения P(x₁ , … , x_n) = 0. Решить диофантово уравнение – значит найти все его решения, т.е. общее решение этого уравнения.

Примеры: 1. Диофантово уравнение 5x – 1 = 0 не имеет решений.

2. Диофантово уравнение 5x – 10 = 0 имеет решение x = 2, которое является единственным.

3. Уравнение ln x – 8x² = 0 не является диофантовым.

4. Часто уравнения вида P(x₁ , … , x_n) = Q(x₁ , … , x_n), где P(x₁ , … , x_n), Q(x₁ , … , x_n) – многочлены с целыми коэффициентами, также называют диофантовыми. Их можно записать в виде P(x₁ , … , x_n) – Q(x₁ , … , x_n) = 0, который является стандартным для диофантовых уравнений.

5. x² – y² = a – диофантово уравнение второй степени с двумя неизвестными x и y при любом целом a. Оно имеет решения при a = 1, но не имеет решений при a = 2.