4.1 Определение устойчивости. Асимптотическая устойчивость

уравнение дифференциальный пространство асимптотический

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

Решение системы (*), удовлетворяющее начальным условиям называется устойчивым по Ляпунову при , если для любого такое, что для всякого решения начальные значения которого удовлетворяют условиям

имеют место неравенства

для всех

Если при сколь угодно малом хотя бы для одного решения неравенства (***) не выполняются, то решение называется неустойчивым. Если, кроме выполнения неравенств (***) при условии (**) выполняется также условие

то решение называется асимптотически устойчивым.

Рассмотрим линейную дифференциальную систему

где и пусть

- соответствующая однородная система.

Определение: Линейную систему (1) будем называть устойчивой (или вполне неустойчивой), если все ее решения соответственно устойчивы (или неустойчивы) по Ляпунову при

Замечание: Решения линейных дифференциальных систем либо все одновременно устойчивы, либо неустойчивы. Подобная терминология не применима к нелинейным дифференциальным системам, некоторые решения которых могут быть устойчивыми, а другие - неустойчивыми.

Определение: Линейную дифференциальную систему (1) назовем асимптотически устойчивой, если все решения этой системы асимптотически устойчивы при