1.1 Біномінальний розподіл

Нехай виробляється п незалежних іспитів, у кожнім з який подія А може зявитися, або не зявитися. Імовірність настання події у всіх іспитах постійна і дорівнює р (отже, імовірність непояви q=l-p). Розглянемо в якості дискретної випадкової величини X число появ події А в цих іспитах.

Поставимо перед собою задачу: знайти закон розподілу величини X. Для її рішення потрібно визначити можливі значення X і їхньої імовірності.

Очевидно, подія А у п іспитах може або не зявитися, або зявитися 1 раз, або 2 рази,..., або п раз. Таким чином, можливі значення X такі:

Залишається знайти імовірності цих можливих значенні, для чого досить скористатися формулою Бернуллі:

(1.1)

де =0, 1, 2,..., п.

Формула (1.1) і є аналітичним вираженням шуканого закону розподілу. Біномінальним називають розподіл ймовірностей, обумовлений формулою Бернуллі.

Закон названий "біномінальним" тому, що праву частину рівності (1.1) можна розглядати як загальний член розкладання бінома Ньютона

(1.2)

Таким чином, перший член розкладання визначає імовірність настання розглянутої події п раз у п незалежних, іспитах; другий член визначає імовірність настання події п-1 раз;...; останній член визначає імовірність того, що подія не зявиться жодного разу. Напишемо біномінальний закон у виді таблиці:

Приклад:

Монета кинута 2 рази. Написати у виді таблиці закон розподілу випадкової величини X - числа випадань герба.

Рішення:

Імовірність появи герба в кожнім киданні монети отже, імовірність не появи герба:

При двох киданнях монети герб може зявитися або 2 рази, або 1 раз, або зо всім не зявитися. Таким чином, можливі значення X такі:

Знайдемо імовірності цих можливих значенні по формулі Бернуллі:

Напишемо шуканий закон розподілу:

Контроль: