2.3 Єдиність представлення простого числа у вигляді суми двох квадратів

За теоремою Ферма-Ойлера будь-яке просте число р, яке при діленні на 4 дає остачу 1, можна представити у вигляді суми двох квадратів. Залишилось довести, що таке представлення єдине з точністю до порядку множників.

Теорема: ніяке просте число не може бути представлено у вигляді суми квадратів двох цілих чисел суттєво різними способами (тобто отримуючи їх один з одного через перестановку множників) способами.

Доведення: Якби просте число p мало два суттєво різних представлення, p = a² + b² = c² + d², то розклади p=(a+bi)(a-bi)=(c+di)(c-di) являють собою протиріччя. Можна обійтись в доведенні теореми і без комплексних чисел. Припустимо, що просте число p двома суттєво різними (тобто різними не тільки порядком множників) способами розкладено на суму квадратів натуральних чисел: p=a²+b²=c²+d².

Тоді і Звідси, a²c²=(-b²)(-d²)(mod p), тобто число a²c²-b²d² кратне p. (Якщо міркування з порівняннями за модулем p незвичні і через це сумнівні, можна отримати те ж саме, розглядаючи рівняння a²c²b²d²=a²(c²+d²)-(a²+b²)d²).)

Оскільки число p просте, із подільності добутку (ac+bd)(ac-bd) на p слідує, що один із множників кратний p. Якщо число ac+bd кратне p, то скористаємося формулою (1):

p²=(ac+bd)²+(ad-bc)².

Якщо то протиріччя очевидне, так як перший доданок (ac+bd)² кратний p² і тому не менший p². Якщо ж ad-bc=0, то ad=bc. Оскільки як числа a і b, так і числа c і d взаємно прості, маємо a = c і d = b.

Випадок, коли ac-bd кратне p, можна розглянути аналогічно, скориставшись формулою

p²=(ac-bd)²+(ad+bc)².

Звідси, просте число неможна двома суттєво різними способами представити у вигляді суми квадратів двох натуральних чисел. Число, єдиним чином можна представити у вигляді суми квадратів двох натуральних чисел, не завжди є простим: 10=1²+3², 25=3²+4². Легко сформулювати умови, при яких число має єдине представлення у вигляді суми двох квадратів.