2. Кольцо целых -адических чисел

Определение:

Суммой и произведением целых -адических чисел определяемых последовательностями и , называются целые - адические числа, определяемые соответственно последовательностями и .

Чтобы быть уверенным в корректности этого определения,мы должны доказать,что последовательности и определяют некоторые целые - адические числа и что эти числа зависят только от , а не от выбора определяющих их последовательностей. Оба эти свойства доказываются путем очевидной проверки.

Очевидно,что при данном нам определении действий над целыми - адическими числами они образуют коммуникативное кольцо, содержащее кольцо целых рациональных чисел в качестве подкольца.

Делимость целых - адических чисел определяется так же ,как и в любом другом кольце: , если существует такое целое - адическое число , что

Для исследования свойств деления важно знать, каковы те целые - адические числа,для которых существуют обратные целые - адические числа. Такие числа называют делителями единицы или единицами. Мы их будем называть - адическими единицами.

Теорема 1:

Целое - адическое число ,определяемое последовательностью , тогда и только тогда является единицей, когда .

Доказательство:

Пусть является единицей, тогда существует такое целое - адическое число , что . Если определяется последовательностью то условие означает,что . В частности, , а значит, Обратно, пусть Из условия легко следует, что , так что . Следовательно, для любого n можно найти такое , что будет справедливо сравнение . Так как и , то . Это значит, что последовательность определяет некоторое целое - адическое число Сравнения показывают, что , т.е. что является единицей.

Из доказанной теоремы следует, что целое рациональное число . Будучи рассмотрено как элемент кольца , тогда и только тогда является единицей, когда . Если это условие выполнено,то содержится в . Отсюда следует, что любое целое рациональное b делитсяна такое a в ,т.е. что любое рациональное число вида b/a, где a и b целые и , содержится в Рациональные числа такого вида называются -целыми. Они образуют очевидным образом кольцо. Полученный нами результат можно теперь сформулировать так:

Следствие:

Кольцо целых - адических чисел содержит подкольцо, изоморфное кольцу - целых рациональных чисел.