4. Объяснение р-адических чисел с помощью ввода новых математических объектов

Определение:

«Квазибесконечным числом» (КБЧ) называется бесконечная последовательность цифр (из какой-либо системы счисления, например десятичной), идущая справа налево.

Пример: ...3819248393684028831439284578

Эти числа названы «квазибесконечными», потому что они кажутся бесконечными, но на самом деле не являются таковыми.

Целые числа. адическое число деление

Рассмотрим те КБЧ, в которых влево от некоторой позиции идут одни нули, например:

...000000, ...000001, ...000002, ...001936, ...

Нетрудно заметить, что такие числа при сложении и умножении ведут себя как обычные неотрицательные целые числа.

Целые отрицательные числа.

Попробуем вычесть из нуля (...00000) единицу (...00001). Формально следуя алгоритму вычитания столбиком с заимствованием из следующего разряда, мы получим ...99999. Снова вычитая единицу, мы получим ...99998, ...99997 и т. д. Нетрудно заметить, что это обычный дополнительный код, широко используемый в компьютерах для представления отрицательных чисел (хотя в компьютерах обычно используется двоичная система, а не десятичная).

Таким образом, чтобы получить ?x (т. е. число, которое при сложении с x даёт ...00000), нужно:

1) Каждую цифру x_i заменить на (N?1)?x_i (где N -- основание системы счисления)

2) К получившемуся числу прибавить ...00001.

Например, в десятичной системе:

?...000000023 = ...999999977

В двоичной системе:

?...000000101 = ...111111011

Таким образом, те КБЧ, в которых влево от некоторой позиции идут одни только наибольшие цифры данной системы счисления, можно отождествить с обычными отрицательными целыми числами.

Арифметические операции.

Сумма двух КБЧ вычисляется справа налево по обычному методу сложения столбиком (вычисляется сумма двух цифр очередного разряда, прибавляется единица при наличии переноса из предыдущего разряда, затем определяется цифра суммы данного разряда и наличие переноса в следующий разряд). [В нижеприведённых таблицах наличие переноса обозначается чертой над соответствующей цифрой.] Например:

Аналогично вычисляется разность двух КБЧ (только вместо переноса здесь заимствование из следующего разряда).

Умножение также вычисляется по обычном методу умножения столбиком, как сумма бесконечного ряда слагаемых.

Деление осуществляется подбором цифр справа налево, используя тот факт, что для вычисления n последних (правых) цифр произведения достаточно перемножить числа, образованные n последними цифрами сомножителей. (Деление выполняется проще, если основание системы счисления -- простое число, иначе возникают неоднозначности в подборе цифр.)

Дроби.

Рассмотрим число ...11111 (состоящее из одних единиц). Нетрудно заметить, что ...11111 Ч ...00009 = ...99999 (т. е. ?1). Поэтому можно считать, что ...11111 = ?1/9. Дополнение к ...11111 (т. е. ...88889) будет равно +1/9.

Естественно предположить, что всякое периодическое КБЧ (т. е. такое, в котором слева от некоторого разряда идёт бесконечно повторяющаяся последовательность цифр) представляет некоторую дробь (т. е. при умножении периодического КБЧ на некоторое конечное число можно получить конечное число).

Теорема.

Если основание системы счисления N -- простое число, то для любого числа x, не кончающегося на 0, существует обратное число x^?1 (т. е. такое, что x · x^?1=1).

Доказательство.

Докажем, что мы сможем подобрать последнюю цифру числа x^?1, а затем по очереди все остальные, так, чтобы последняя цифра произведения была 1, а все остальные 0.

Пусть x₀ -- последняя цифра числа x; подберём y₀ -- последнюю цифру числа x^?1. Поскольку основание системы счисления N -- простое число, то при вычислениях по модулю N для любого x₀ (?0) мы можем найти такое y₀, что x₀ · y₀ = 1.

Далее, исходя из алгоритма умножения столбиком, для очередной цифры x_i мы подберём цифру y_i по уравнению

x₀ · y_i + x_i · y₀ + C = 0

(вычисления осуществляются по модулю N; C -- «довесок», образующийся от перемножения предыдущих цифр).

Поскольку x₀ ? 0, то это уравнение всегда разрешимо. Теорема доказана.

Следствие.

Если основание системы счисления -- простое число, то можно делить (без остатка) на любое число, не кончающееся на 0.