1. Целые -адические числа

Определение:

пусть - некоторое простое число. Последовательность целых чисел =, обладающих тем свойством,что для всех n, определяет новый объект,называемый целым -адическим числом.

Сложение и умножение целых p-адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей. Для них непосредственно проверяются все аксиомы кольца. Кольцо целых p-адических чисел обычно обозначается .

Итак, рассмотрим сравнение:

по степеням простого числа 7. При n=1 сравнение имеет два решения:

Положим теперь n=2. Из

cледует так что решение сравнения второго надо искать в виде ,где - одно из чисел, определяемых сравнением первым. Теперь найдем решения вида . (при это решения рассматриваются так же).Подставляем это выражение для во второе сравнение , получаем:

9+6*+

1+6,

.

Таким образом,получаем решение

Аналогично при n=3 получаем и из сравнения

находим т.е.

Этот процесс мы можем продолжать бесконечно.

Мы получим последовательность

Она обладает свойствами:

,

,

.

Итак, процесс построения последовательности

,

,

.

Чем-то напоминает процесс извлечения квадратного корня из 2.

Например:

.

В нашем случае строится последовательность целых чисел ,для которых

Делится на . Такакя аналогия становится более отчетливой,если условиться два целых числа называть близкими ( точнее -близкими, где - некоторое простое число), когда их разность делится на достаточно большую степень Тогда можно сказать, что квадраты чисел последовательности

,

,

.

При возрастании n становится сколь угодно 7-близкими к 2.

Задание последовательности определяет вещественное число .

Можно предположить,что наша последовательность так же определяет число a некоторой новой природы, причем такое,что =2.

Если же последовательность рациональных чисел такова,что при всех n,то ее пределом так же будет . Все это приводит нас к определению. Две последовательности и тогда и только тогда определяютодно и то же целое -адическое число, когда, для всех n

То,что последовательность определяет целое -адическое число a, записывается так

Множество всех целых -адических чисел мы будем обозначать через . В отличае от целых -адических чисел обычные целые числа будут называться рациональными.

Каждому целому рациональному числу сопоставим целое -адическое чисело, определяемое последовательностью . Это целое -адическое число, соответствущее рациональному , мы будем обозначать той же буквой

Два различных целых рациональных числа определяют разные целые -адические числа.

Так и есть, из их равенства как целых -адических чисел следовали бы при всех n сравнения , что возможно только при . Именно поэтому мы будем рассматривать множество целых рациональных чисел как часть множества целых рациональных чисел.

Для лучшего представления укажем способ,при помощи,которого можно из множества всех последовательностей, определяющих данное целое -адическое число, выбрать одну стандартную.

Пусть целое -адическое число задается последовательностью

Обозначим наименьшее неотрицательное число,сравнимое с по модулю ,через :

0

Сравнение показывает, что

,

Так что последовательность определяет некоторое целое -адическое число, и притом в силу

То же самое, что и последовательность Последовательность, все члены которой удовлетворяют условиям и 0, будем называть канонической.

Мы доказали,следовательно,что каждое -адическое число определяется некоторой канонической последовательностью.

Легко видеть,что две разные канонические последовательности определяют разные целые -адические числа. Действительно, если канонические последовательности и определяют одно и то же целое -адическое число, то в силу сравнений

И условий 0 получаем что при всех n

Таким образом, целые -адические числа находятся во взаимно однозначном соответствии с каноническими последовательностями. Из условия следует,что 0 и 0 0

Следовательно, всякая каноническая последовательность имеет вид

{,,}, где 0Очевидно, что и, наоборот , каждая последовательность такого вида является канонической последовательностью, определяющей некоторое целое -адическое число. Исходя из этого легко доказать, что множество канонических последовательностей , а следовательно и множество всех целых -адических чисел имеют мощность континуума.