2.7 Методика вычисления обратной матрицы

Один из методов решения системы линейных уравнений (4), записываем в матричной форме А·Х=В, связан с использованием обратной матрицы А^-1. В этом случае решение системы уравнений получается в виде

Х=А^-1·В,

где А^-1 -матрица, определяемая следующим образом.

Пусть А -квадратная матрица размером n х n с ненулевым определителем detA?0. Тогда существует обратная матрица R=A^-1, определяемая условием A·R=E,

где Е -единичная матрица, все элементы главной диагонали которой равны I, а элементы вне этой диагонали -0, Е=[E₁,..., E_n], где Е_i -вектор-столбец. Матрица К -квадратная матрица размером n х n.

где Rj -вектор-столбец.

Рассмотрим ее первый столбец R=( r₁₁, r₂₁,…, r_n1)^T, где Т -означает транспонирование. Нетрудно проверить, что произведение A·R равно первому столбцу E₁=(1, 0, …, 0)^Т единичной матрицы Е, т.е. вектор R₁ можно рассмотреть как решение системы линейных уравнений A·R₁=E_1. Аналогично m -й столбец матрицы R , Rm, 1? m ? n, представляет собой решение уравнения A·Rm=Em, где Em=(0, …, 1, 0)^T m -й столбец единичной матрицы Е.

Таким образом, обратная матрица R представляет собой набор из решений n систем линейных уравнений

A·Rm=Em , 1? m ? n.

Для решения этих систем можно применять любые методы, разработанные для решения алгебраических уравнений. Однако метод Гаусса дает возможность решать все эти n систем одновременно, а независимо друг от друга. Действительно, все эти системы уравнений отличаются только правой частью, а все преобразования, которые проводятся в процессе прямого хода метода Гаусса, полностью определяются элементами матрицы коэффициентов (матрицы А). Следовательно, в схемах алгоритмов изменению подлежат только блоки, связанные с преобразованием вектора В. В нашем случае одновременно будут преобразовываться n векторов Em, 1? m ? n. Результатом решения также будет не один вектор, а n векторов Rm, 1? m ? n.