3. Дробные p-адические числа

Определение:

Дробь вида , , k >= 0 определяет дробное p -адическое число или просто p -адическое число. Две дроби, и , определяют одно и тоже p -адическое число, если в .

Совокупность всех p -адических чисел обозначается _p. Легко проверить, что операции сложения и умножения продолжаются с _p на _p и превращают _p в поле.

2.9.Теорема. Всякое p -адическое число единственным образом представляется в виде

где m -- целое число, а -- единица кольца _p.

2.10. Теорема. Всякое отличное от нуля p -адическое число однозначно представляется в виде

M= .

Свойства: Поле p-адических чисел содержит в себе поле рациональных чисел. Нетрудно доказать, что любое целое p-адическое число некратное p обратимо в кольце _p , а кратное p однозначно записывается в виде , где x не кратно p и поэтому обратимо, а . Поэтому любой ненулевой элемент поля _p может быть записан в виде , где x не кратно p, а m любое; если m отрицательно, то, исходя из представления целых p-адических чисел в виде последовательности цифр в p-ичной системе счисления, мы можем записать такое p-адическое число в виде последовательности , то есть, формально представить в виде p-ичной дроби с конечным числом цифр после запятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой. Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному» правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа.