1. «Математическая структура» как одно из ведущих понятий математики

Одним из подходов к определению математики является системно-структурный подход. Такой подход к объектам исследования связан с переходом от конкретной содержательной аксиоматики к аксиоматике сначала абстрактной, а затем полностью формализованной. В конкретной содержательной аксиоматике, подобной аксиоматике Евклида, исходные понятия и аксиомы в качестве интерпретации имеют единственную систему хотя и идеализированных, но конкретных объектов. В противоположность этому абстрактная аксиоматика допускает бесчисленное множество интерпретаций. Формализованная аксиоматика характеризуется точным заданием правил вывода и вместо содержательных рассуждений использует язык символов и формул. Тогда одни и те же аксиомы могут описывать свойства и отношения самых различных по своему конкретному содержанию объектов.

Эта фундаментальная идея лежит в основе понятия математической структуры. Большой вклад в систематизацию современной математики на базе основных математических структур внесла работа группы французских математиков (А. Вейль, Л. Шварц, К. Шевалье, А. Картан, С. Эйленберг и др.), выступавших под псевдонимом Н. Бурбаки.

В основу своей систематизации Н. Бурбаки положили аксиоматический метод, теорию множеств и понятие математической структуры: «Общей чертой различных понятий, объединенных этим родовым понятием, является то, что они применимы к множеству элементов, природа которых не определена. Чтобы определить структуру, задают одно или несколько отношений, в которых находятся его элементы; затем постулируют, что данное отношение или данные отношения удовлетворяют некоторым условиям (которые перечисляют и которые являются аксиомами рассматриваемой структуры)».

Таким образом, математика изучает только те свойства структур, которые вытекают из принятой системы аксиом. В соответствии с положениями Н. Бурбаки структуры подразделяются на три основных типа: алгебраические, порядковые и топологические.

По мнению ряда крупных математиков, понимание математической структуры Н. Бурбаки слишком узко. Например, в классификации Н. Бурбаки отсутствуют комбинаторные структуры, являющиеся основой конструктивного подхода в математике. По словам Б.В. Гнеденко, «выявилось стремление переместить центр интересов и представлений с понятий математики непрерывного в так называемую конечную математику» [3, с.60].

Также в системе Н. Бурбаки нет места для наглядно-геометрических структур, геометрических образов. Один из членов группы Н. Бурбаки - Ж. Дьедонне - намеренно показал в своей книге «Линейная алгебра и элементарная геометрия» пример изложения курса без единого чертежа. Очевидно, что такой односторонний подход сильно обедняет математическую науку. Так, например, Ю.И. Манин отмечает: «Пространства функций в большинстве случаев бесконечномерны, но возможность направленно воспитать, а затем применить развитую конечномерную (даже трехмерную) интуицию, оказалась исключительно плодотворным открытием» [9].

Следовательно, необходим более широкий подход к пониманию математической структуры. В частности, Л.Д. Кудрявцев предложил включить в понятие математических структур структуры, являющиеся математическими моделями реальных явлений (то есть структуры, образующиеся в теории информации, теории операций, теории случайных процессов и т.д.).

В работе В.А. Тестова предложено толкование математической структуры, на основе социокультурного системного подхода: «под математической структурой можно понимать совокупность устойчивых связей, обеспечивающих целостность математического объекта (математической системы, математической модели). Эта совокупность устойчивых связей математического объекта может быть задана различными способами (аксиоматически, конструктивно, описательно, в виде наглядных образов)» [12, с.25].

Таким образом, математические структуры в понимании Н. Бурбаки, являются лишь частным случаем более широкого толкования этого термина, данного современными авторами. Эти структуры, по выражению французского математика Р. Тома, называются стандартными. Следовательно, к стандартным структурам мы относим алгебраические, порядковые и топологические структуры.

Алгебраические структуры. Примерами таких структур являются группы, кольца, поля, векторные пространства и т.д. Основные характеристики алгебраической структуры: задание на некотором множестве конечного числа внутренних и внешних операций с соответствующими свойствами - аксиомами алгебраической структуры. В качестве элементов множества могут выступать объекты любой природы.

Порядковые структуры. Они характеризуются тем, что на множестве объектов задается отношение между двумя элементами, которое мы чаще всего выражаем словами «меньше или равно». Это отношение обладает свойствами рефлексивности, транзитивности и антисимметричности. Изучение общих свойств различных упорядоченных множеств привело к возникновению таких абстрактных порядковых структур как цепи, вполне упорядоченные множества, решетки, булевы алгебры и т.д.

Топологические структуры. Множество обладает топологической структурой, если каждому его элементу тем или иным способом отнесено семейство подмножеств из , называемых окрестностями этого элемента, причем эти окрестности должны удовлетворять определенным аксиомам (аксиомам топологической структуры). С помощью топологических структур точно определяются такие понятия, как окрестность, предел, непрерывность.

Как показали данные психологических исследований, проведенных школой Ж. Пиаже, психологические математические структуры, образующиеся в сознании ребенка, полностью соответствуют основным типам математических структур. Таким образом, была установлена аналогия между «архитектурой» математики как науки и «архитектурой» развивающегося мышления. Алгебраические структуры, а именно группы, по мнению Ж. Пиаже [10], соответствуют операторным механизмам ума, подчиненным форме обратимости, которую Ж. Пиаже называет инверсией, то есть такой, что произведение операции на обратную есть тождественная операция. Понятие об алгебраических структурах начинает формироваться у ребенка на стадии конкретных операций (с 7 до 11-12 лет). Но к изучению понятия группы можно приступать только на стадии формальных операций не ранее 14-15 лет с накопления и обобщения отдельных свойств алгебраических операций. Понятие же абстрактной группы намного более общее и изучаться должно значительно позднее.

В связи с этим многие математики считают, что задачей математического образования является развитие структур мышления, познание посредством этого развития структур математических, а значит и математики как таковой. Ряд идей о реформе математического образования был высказан еще Ф. Клейном в Эрлангенской (1872 г.), а затем в Меранской программе (1906 г.), в частности, им на первое место были выдвинуты понятие группы и идея преобразований.