2.2 Примеры бинарных отношений из курса геометрии

Пример 2.2.1.

Рассмотрим - множество прямых на плоскости. Проверим свойства бинарного отношения: . (Прямые и параллельны, если они не имеют общих точек или совпадают).

1) Данное отношение обладает свойством рефлексивности, если . Поскольку прямая совпадает сама с собой, то она будет находиться в отношении сама с собой.

2) Проверим, обладает ли подмножество свойством симметричности. ; . На рисунке 8 показаны прямая и прямая . Очевидно, что отношение будет симметричным, поскольку если , то и .

Рисунок 8

3) Рассмотрим свойство транзитивности. Должно выполнятся следующее условие: ; и . На рисунке 9 изображены три параллельные прямые. Поскольку они параллельны между собой, то свойство транзитивности на данном подмножестве будет выполняться.

Рисунок 9

4) Рассмотрим свойство антисимметричности. Оно будет выполнятся, если ; . Данное свойство не выполняется на множестве поскольку, если прямая параллельна прямой , то и прямая параллельна прямой .

Пример 2.2.2.

Рассмотрим множество из примера 2.2.1. На нем зададим следующее бинарное отношение: .

1) Рассмотрим свойство рефлексивности. Тогда должно выполнятся следующее условие . На рисунке 10 показана произвольная прямая . Если рассматривать перпендикулярность как наличие прямого угла между прямыми, то очевидно, что отношение таким свойством не обладает, поскольку, прямая сама с собой не может образовывать прямой угол.

Рисунок 10

2) Проверим свойство симметричности. Оно будет выполняться при следующем условии: ; . Если мы рассмотрим две перпендикулярные прямые ( и ), как показано на рисунке 11, то мы увидим, что на данном множестве свойство симметричности выполняется, поскольку, если прямая перпендикулярна прямой , то и обратное верно, так как прямые и образуют друг с другом прямой угол.

Рисунок 11

3) Рассмотрим свойство транзитивности. Данное подмножество транзитивно, если ; и . Это утверждение неверно. Рассмотрим рисунок 12. На нем изображены и . Отсюда видно, что прямая не перпендикулярна прямой , значит, свойство транзитивности не выполняется.

Рисунок 12

4) Проверим антисимметричность. Данное подмножество не будет обладать свойством антисимметричности, если и , то есть если и . Это утверждение неверно, поскольку, если прямая будет перпендикулярна прямой , то и обратное утверждение будет верно. В этом можно легко убедиться, глядя на рисунок 11. Отсюда делаем вывод, что данное подмножество не обладает свойством антисимметричности.

Пример 2.2.3.

Рассмотрим множество - множество фигур. Расмотрим подмножество подобных фигур. Две фигуры называются подобными, если фигуру можно отобразить в фигуру . Будем говорить, что подобно с коэффициентом подобия .

Рассмотри следующее бинарное отношение: и подобны. Далее слово подобие мы будем заменять символом «~».

1) Проверим свойство рефлексивности. . Нетрудно понять, что любая фигура подобна сама себе, то есть коэффициент подобия у нее равен 1. Отсюда следует, что подмножество обладает свойством рефлексивности.

2) Рассмотрим свойство симметричности. , то есть если . Если фигура подобна фигуре с коэффициентом , то фигура подобна фигуре с коэффициентом (обратное отображение). Отсюда следует, что данное множество обладает свойством симметричности.

3) Проверим транзитивность. Должно выполняться следующее условие: и , то есть если и то . Пусть фигура подобна фигуре с коэффициентом , а фигура подобна фигуре с коэффициентом . Тогда фигура подобна фигуре с коэффициентом . Это значит, что данное отношение транзитивно.

4) Проверяем антисимметричность. Данное свойство выполняется, если и , то есть если и , то . Как и в свойстве симметричности, если фигура подобна фигуре с коэффициентом , то фигура подобна фигуре с коэффициентом . Отсюда следует, что фигуры подобны, значит, свойство антисимметричности не выполняется.