2. Бинарное отношение - основные определения

Наиболее важными в алгебре и, следовательно, наиболее исследованными являются бинарные операции. Примерами таких операций могут служить сложение и умножение чисел, сложение и умножение матриц, сложение векторов в векторном линейном пространстве.

Если является подмножеством можно сказать, что эти два множества находятся в некотором отношении друг с другом. В дальнейшем, мы будем изучать подобные отношения. Но сначала надо уточнить понятие отношения так, чтобы оно могло стать предметом математического исследования.

Прежде всего, договоримся читать запись словами «а находится в отношении с », и тогда естественным образом приходим к тому, чтобы рассматриваемое отношение назвать отношением .

Рассмотрим понятие «отношение» в общем случае. Пусть - некоторое непустое множество. Декартовым квадратом множества назовем множество (или ), элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары , где пробегают множество . Если - подмножество множества , то будем говорить, что является отношением на множестве .

Сформулируем определение бинарного отношения.

Для любых двух множеств и всякое подмножество называется бинарным отношением между и .

Бинарные отношения на множестве обладают следующими свойствами:

1) рефлексивность ;

2) симметричность ;

3) антисимметричность: и ; (или если и );

4) транзитивность и .

Бинарное отношение на множестве называется отношением порядка, если имеют место следующие свойства:

1) рефлексивность: ;

2) антисимметричность: и ;

3) транзитивность: и .

Интересна геометрическая интерпретация свойств бинарных отношений на числовых множествах. Например, бинарное отношение будет рефлексивным, если подмножество множества будет содержать биссектрису 1 и 3 координатного угла декартова квадрата . В качестве примера можно привести два отношения и на множестве R. Отношение не является рефлексивным, поскольку неравенство строгое и условие не выполнится ни при каких значениях х на множестве R. А вот отношение уже будет обладать свойством рефлексивности, так как неравенство истинное и биссектриса принадлежит подмножеству .

Бинарное отношение обладает свойством симметричности, если элементы и одновременно принадлежат подмножеству , то есть. Данное свойство на множестве N присуще бинарному отношению , поскольку на данном множестве нет отрицательных чисел.

Бинарное отношение будет транзитивно, если и. Геометрически можно заметить, что точки , , , а также (y,y) являются вершинами некоторого прямоугольника.

Бинарное отношение будет транзитивно, когда все вершины этого прямоугольника, принадлежат подмножеству .

Бинарное отношение является антисимметричным, если и . Данное свойство выполняется, когда точка с координатами принадлежит подмножеству , а точка с координатами не принадлежит подмножеству .

Бинарные отношения можно рассматривать на самых различных множествах. Приведем некоторые примеры отношений из алгебры и геометрии.