1.1 Ведущее понятие как основа для обобщающего повторения школьного курса математики

Выделение ведущего понятия повлечет за собой упорядочение блока учебного материала. Многие факты, которые ранее рассматривались как изолированные, окажутся проявлениями одной общей идеи, а это будет способствовать более глубокому пониманию и усвоению курса. В работах В.А. Далингера говорится, что «ведущими понятиями мы будем считать те, которые удовлетворяют следующим критериям. Они должны:

формировать у учащихся научное мировоззрение;

значительно чаще других понятий служить средством изучения различных вопросов математики;

активно работать на протяжении большого промежутка времени;

способствовать наиболее полной реализации внутрипредметных связей, а, в конечном счете, и межпредметных;

иметь прикладную и практическую направленность».

Совершенно очевидно, что идея алгебраической структуры пронизывает весь курс школьной математики: школьники изучают числовые множества и свойства операций на них введенных (сложение, умножение, вычитание, деление), учатся работать с многочленами или векторами (операция сложения), в старших классах знакомятся с геометрическими преобразованиями (операция композиции). На самом деле все подготовлено для того, чтобы выполнить последний шаг - свести в единое целое весь изученный материал и увидеть общую основу. Оказывается, природа элементов изучаемых множеств (чисел, векторов, многочленов, преобразований) не имела значения, важен был набор свойств операции, введенной на данном множестве.

В качестве другой иллюстрации отметим, что понятие порядковой структуры также имеет немаловажное значение для школьного курса математики. Это ведущее понятие связано с одним из самых общих понятий математики - понятием соответствия (а также бинарного отношения). Важнейшие бинарные отношения и соответствия - это эквивалентности, порядки и функциональные соответствия. В геометрии примером отношения эквивалентности является понятие параллельности, определенном на множестве прямых плоскости. Классы этой эквивалентности представляют собой пучки параллельных прямых. На множестве векторов понятие эквивалентности (свободный вектор) иногда подменяется понятием равенства, что может повлечь трудности методического характера при изучении темы. Заметим, что, работая со свободным вектором, школьник имеет дело с представителем класса фактор-множества векторов плоскости. Вне математики отношения эквивалентности также играют очень большую роль: они возникают всякий раз, когда нам приходится проводить классификацию объектов той или иной природы.

С отношением порядка мы встречаемся каждый раз, когда сравниваем действительные числа по величине, людей по старшинству и т.д. В школьном курсе примерами таких отношений служат отношения «делится нацело», «делит», «меньше или равно».

Третий тип бинарных отношений, важность которого для школьного курса математики переоценить трудно, - функциональные отношения.

Приведенные нами примеры показывают необходимость разработки специальной технологии обобщения и систематизации на основе ведущей идеи, позволяющей в определенные моменты изучения курса математики в школе включать в процесс обучения уроки (цикл уроков, факультативный курс) обобщающего повторения.