2.1 Примеры алгебраических бинарных отношений

Пример 2.1.1.

Для действительных чисел будем исследовать свойства бинарных отношений в том случае, когда отношение задается следующим образом:

R .

Проверим свойства:

1) Рефлексивность будет выполняться, поскольку для любого R.

2) Данное отношение не будет антисимметрично, поскольку если мы возьмем и , то мы получим

.

Проверим выполнение условия в случаи, когда и

Получили, что , но при этом . Отсюда следует, что данное подмножество не антисимметрично.

3) Проверим транзитивность, тогда должно выполняться следующее условие:

и .

Оно, очевидно, будет выполняться для любых элементов из множества R.

4) Проверим симметричность на конкретном примере. Предположим и .

Тогда получаем . Проверим вторую часть свойства: , . Данное неравенство неверно, откуда мы делаем вывод, что данное отношение не является симметричным.

Пример 2.1.2.

- неотрицательные целые числа, определенные отношением

1) Проверим рефлексивность. . Очевидно, что каждое неотрицательное число будет делиться само на себя. Проверим, выполняется ли . Рассмотрим обозначение как . Тогда, если , получаем, что . Очевидно, что при умножении любого числа на 0 мы получим 0, а значит, свойство рефлексивности выполняется для любого элемента.

2) Проверяем симметричность. Должно выполняться следующее условие:

, значит . Запишем посылку и заключение следующим образом: и . Подставляем значение а в первое уравнение. Получаем: или . В множестве мы не найдем двух различных чисел и , таких, чтобы их произведение давало 1, следовательно, данное отношение не симметрично.

3) Проверяем транзитивность.

и . Это означает следующее: и . Распишем подробно: и . Из последнего равенства следует, что , а это, в свою очередь, означает, что свойство транзитивности на данном множестве выполняется.

4) Проверим антисимметричность. Должно выполняться условие: и . Если , то можно сделать вывод, что . Если же , то должно выполнятся условие . Условия и выполняются одновременно тогда, когда . Отсюда следует, что антисимметричность выполняется.

О данном отношении можно сказать, что оно является упорядочением множества , поскольку на нем выполняются условия рефлексивности, антисимметричности и транзитивности.

Пример 2.1.3.

Определим отношение для двух чисел из множества R, так что или . Данное подмножество показано на рисунке 1.

Рисунок 1

1) Проверим рефлексивность. или . Это означает, что должно выполняться хотя бы одно из условий или . Эта совокупность неравенств имеет своим решением все множество действительных чисел. Значит условие рефлексивности выполняется.

2) Проверяем, будет ли данное отношение симметричным. Для этого необходимо выполнение следующего условия: . На данном отношении это записывается как или или . Возьмем, например, и , тогда должно выполняться или . Данные условия выполняются. Проверим вторую часть следствия, где мы видим при подстановке значений и следующее: или . Ни одно из данных неравенств не выполняется, следовательно, данное отношение не обладает свойством симметричности.

3) Транзитивность в данном отношении будет выполняться в следующем случае: если или и или , то или . Для проверки свойства транзитивности возьмем конкретные значения. Пусть ; и . Мы видим, что при подстановке их в первую часть условия получается, что из совокупностей или и или хотя бы одно неравенство верно. Но при подстановке этих значений во вторую часть условия, мы получаем или . Ни одно из неравенств не выполняется, следовательно, условие транзитивности для данного отношения не выполняется.

4) Рассмотрим свойство антисимметричности. Если ( или ) и ( и ), то . Возьмем, например, и . , так как или (выполняется хотя бы одно из условий). , так как или . Но , нарушается определение антисимметричности. Значит, данное подмножество не обладает этим свойством.

Пример 2.1.4.

Возьмем отношение на множестве Z, которое зададим следующим образом: . Подмножество показано на рисунке 2.

Рисунок 2

1) Данное отношение не обладает свойством рефлексивности. Так как неравенство строгое, то условие не будет выполняться не при каких значениях из множества Z.

2) Проверим отношение на симметричность. Должно выполняться следующее условие: . Если мы возьмем любые два значения из множества Z, то убедимся в ложности следствия. Пусть , , получаем . Обратное неверно, поскольку неравенство не выполняется. Следовательно, отношение не симметрично.

3) Проверяем транзитивность. На данном подмножестве транзитивность выполняется, если и . Пусть , и . Получаем и . На множестве Z условие транзитивности будет выполняться для любых чисел.

4) Условие антисимметричности выполняется, если и . Возьмем и . Условия в левой части неравенства выполняются, так как и . Так же выполняется условие в правой части, поскольку неравенство ложно. Откуда можно сделать вывод, что свойство антисимметричности для данного отношения выполняется.

Пример 2.1.5.

Рассмотрим следующий пример бинарного отношения: на множестве R. Оно показано на рисунке 3.

Рисунок 3

1) Рассмотрим свойство рефлексивности. Данное отношение будет обладать данным свойством, поскольку оно содержит биссектрису . В этом легко убедиться: R.

2) Проверим симметричность. Данное отношение будет симметричным, если будет выполняться условие

;

Рассмотрим пару чисел , . При подстановке их в левую часть условия, мы получаем . Подставим в правую часть, получаем . Данное неравенство неверно, следовательно, подмножество не обладает свойством симметричности. Графически данная ситуация показана на рисунке 4.

Рисунок 4

3) Проверим свойство транзитивности. Должно выполняться условие и ; и . Возьмем для примера значения , и . Получаем следующие выкладки: если и , то отсюда следует, что . Поскольку неравенство строгое, это утверждение неверно. Отсюда мы делаем вывод, что данное отношение не является транзитивным. Графическая интерпретация показана на рисунке 5.

Рисунок 5

4) Проверяем антисимметричность. Должно выполняться условие

и ; и . Возьмем для примера и . Получаем и . Отсюда следует, что . Неравенство верное, это значит, что отношение не обладает свойством антисимметричности. Данная ситуация отражена на рисунке 6.

Рисунок 6

Пример 2.1.6.

Рассмотрим бинарное отношение на множестве N. Графически данное множество изображено на рисунке 7.

Рисунок 7

1) Данное отношение обладает свойством рефлексивности, поскольку условие выполняется для любого элемента из множества N.

2) Рассмотрим свойство симметричности. Оно будет выполняться, если истинно условие . Мы видим, что свойство не выполняется на данном множестве, поскольку, если мы возьмем и , то мы получаем, что не состоит, поскольку не делится.

3) Проверим свойство транзитивности. Если и , что в свою очередь означает, если и . Пусть ; , тогда , отсюда следует, что . Значит, данное отношение обладает свойством транзитивности.

4) Проверим антисимметричность. Подмножество обладает свойством антисимметричности, если и ; и . Пусть означает , тогда это . Тогда получаем, что . Получили два случая. , поскольку он принадлежит множеству N, значит . На множестве N данное равенство возможно только в том случае, если и , а значит . Откуда делаем вывод, что если , то . Значит отношение обладает свойством антисимметричности.

Пример 2.1.7.

Рассмотрим бинарное отношение: на множестве R.

1) Очевидно, что данное отношение не обладает свойством рефлексивности, поскольку R: высказывание ложное.

2) Проверим свойство симметричности. R: . Подставим в первую часть вторую, получаем, что . Равенство не выполняется для любых значений х, следовательно, данное отношение не симметрично.

3) Проверяем свойство транзитивности. Должно выполняется следующее условие: и . Очевидно, что высказывание ложное. Приведем пример. Пусть , и , тогда , . Но отсюда не следует, что . Равенство ложное, отношение не обладает свойством транзитивности.

4) Проверяем антисимметричность. и ; и . Проверим свойство на конкретном примере. Пусть , , тогда и . Высказывание истинно. Вероятно, данное отношение обладает свойством антисимметричности.