1.2 Опис ідеалів в

Визначення 6. Власний ідеал P комутативного півкільця S називається простим, якщо або для будь-яких ідеалів A і B.

Теорема A. Якщо S - комутативне півкільце, то ідеал P простий тоді й тільки тоді, коли тягне [6].

Простими ідеалами в є, мабуть, нульовий ідеал і ідеали p . Ідеал, породжений складеним числом, не може бути простим. Більше того, якщо складене число n=ab є елементом системи утворюючого ідеалу I, те елементи a,b не лежать в ідеалі I, і отже, I не простий. Таким чином, система утворюючого простого ідеалу може складатися тільки із простих чисел.

Нехай P - простий ідеал в , що не є головним, і ? елементи з його системи утворюючих. Оскільки й взаємно прості, то по другому наслідку теореми 2 всі натуральні числа, починаючи з якогось, лежать в ідеалі P. Виходить, P містить деякі ступені чисел 2 і 3. У силу простоти ідеалу P, 2 і 3 будуть лежати в P. Ідеал, породжений числами 2 і 3, є єдиним простим ідеалом, що не є головним.

Таким чином, простими ідеалами півкільця є наступні ідеали, і тільки вони:

нульовий ідеал;

головні ідеали, породжені довільним простим числом;

двохпороджений ідеал (2,3).

Визначення 7. Власний ідеал M півкільця S називається максимальним, якщо тягне або для кожного ідеалу A в S.

Теорема Б. Максимальний ідеал комутативного півкільця простий.[6]

У нульовий ідеал і ідеали, породжені довільним простим числом, не є максимальними, тому що включені в ідеал (2,3), що не збігається з ними й с. Таким чином, максимальним є двохпорджений ідеал (2,3) - найбільший власний ідеал в.

Множина простих ідеалів можна впорядкувати в такий спосіб:

Тут найбільшим елементом є двохпорджений ідеал (2,3), а найменшим - нульовий ідеал.

Визначення 8. Ідеал I півкільця S називається напівстрогим, якщо тягне

Теорема 6. Напівстрогий ідеал півкільця в точності є головним ідеалом.

Доказ. Головні ідеали, мабуть, є напівстрогими. Припустимо, що в системі утворюючого напівстрогого ідеалу може бути більше двох утворюючих. Нехай два елементи m і n - найменші в системі утворюючого ідеалу, і Розглянемо рівність m+x=n, у ньому x очевидно менше, ніж n. Це означає, що x належить ідеалу тільки в тому випадку, коли елемент x представимо у вигляді x=ms, де . Тоді n лінійно виражається через m, а суперечить тому, що m і n - утворюючі.

Множина напівстрогих ідеалів можна впорядкувати в такий спосіб:

Тут найбільшим є ідеал, породжений 1, на рівень нижче його перебувають ідеали, породжені простими числами, ще нижче - породжені добутком двох простих чисел, далі трьох і так далі.

Визначення 9. Ідеал I півкільця S називається строгим, якщо тягне й

Cтрогий ідеал обовязково є напівстрогим, а в півкільці й головним. Ідеали (0) і (1), мабуть, є строгими. У будь-яких інших головних ідеалах їх утворюючі можна представити у вигляді суми 1 і числа, на 1 менше утворюючої, і обоє цих доданків не будуть належати I. Таким чином, строгими ідеалами півкільця є тільки (0) і (1).