1.4. Подільність натуральних чисел

Натуральне число є дільником натурального числа , якщо

де — натуральне число. У цьому разі кажуть, що число ділиться без остачі на число Зазначимо, що з рівності випливає, що число також ділиться без остачі і на число тобто — дільник числа . Наприклад, 5 і 3 — дільники числа 15.

Нагадаємо, що натуральні числа, які діляться на 2, а також чис­ло 0, називаються парними, а натуральні числа, що не діляться на 2, — непарними. Кратним числа називають число яке ділиться без остачі на Множина чисел, кратних даному число нескінченна.

Теорема. Якщо кожний доданок ділиться на певне число, то їхня сума також ділиться на це число.

Наслідок. Якщо сума двох доданків і одне з них діляться на деяке число, то й інший доданок ділиться на це число.

Зауваження. Не слід думати, що коли кожний доданок суми не ділиться на деяке число, то й сума не ділиться на це число. Наприклад, сума 23 + 13 ділиться на 6, хоча жодний із доданків не ділиться на це число.

Теорема. Якщо зменшуване і від’ємник діляться на деяке число, то і різниця поділиться на це число.

Теорема. Якщо кожний доданок, крім одного, ділиться на деяке число, а той один на нього не ділиться, то й сума не поділиться на це число.

Теорема. Якщо хоча б один із множників ділиться на дане число, то їхній добуток також ділиться на це число.

Зауваження. Умова теореми є достатньою, але не необхідною для подільності добутку на число. Наприклад, добуток 1427 ділиться на 21, хоча ні 14, ні 27 на 21 не ділиться.

Теорема. Якщо натуральне число а ділиться на добуток двох натуральних чисел, то воно поділиться на кожне з цих чисел окремо.

Теорема. Якщо натуральне число а ділиться окремо на два натуральних числа b і с, причому b і с не мають спільних дільників, крім одиниці, то а ділиться на добуток bс.