1.1 Базові поняття й факти

Визначення 1. Непуста множина S з бінарними операціями "+" і "(" називається півкільцем, якщо виконуються наступні аксіоми:

(S, +) ( комутативна напівгрупа з нейтральним елементом 0;

(S, () ( напівгрупа з нейтральним елементом 1;

множення дистрибутивні щодо додавання:

a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc для будь-яких a, b, c ( S;

0a = 0 = a0 для будь-якого a( S.

По цьому визначенню півкільце відрізняється від асоціативного кільця з одиницею відсутністю операції вирахування, і саме це викликає основні труднощі при роботі з півкільцями.

Нескладно показати, що множина натуральних чисел зі звичайними операціями додавання й множення при допущенні, що , є півкільцем.

Визначення 2. Непуста підмножина I півкільця S називається лівим ідеалом півкільця S, якщо для будь-яких елементів елементи a+b і sa належать I. Симетричним образом визначається правий ідеал. Непуста підмножина, що є одночасно лівим і правим ідеалом, називається двостороннім ідеалом або просто ідеалом півкільця S.

У силу комутативності операції множення в півкільці всі ідеали є двосторонніми, надалі будемо називати їх просто ідеалами.

Ідеал, відмінний від півкільця S, називається власним.

Визначення 3. У півкільці S найменший із всіх ідеалів, що містять елемент , називається головним ідеалом, породженим елементом a.

Відомо, що кільце цілих чисел є кільцем головних ідеалів. Ідеали в не обовязково є головними, але всі вони звичайно породжені. Головні ідеали в будемо позначати aN, де a - елемент, що породжує ідеал.

Визначення 4. Ідеал комутативного півкільця називається звичайно породженим, якщо найдеться кінцева множина елементів таких, що

Теорема 1. Довільний ідеал півкільця натуральних чисел звичайно породжений.

Доказ. Нехай - довільний ідеал з , - його найменший ненульовий елемент. Виберемо, якщо можливо, найменший елемент із N. У загальному випадку на черговому кроці будемо вибирати найменший елемент із множини . Помітимо, що обирані елементи зобовязані бути непорівнянними по модулі . Із цієї причини процес вибору буде кінцевим, і на деякому кроці одержимо

Визначення 5. Нехай - ідеал півкільця натуральних чисел. Множина елементів з назвемо системою утворюючого ідеалу, якщо й ніякий елемент системи утворюючих не можна представити у вигляді комбінації з ненегативними коефіцієнтами інших елементів системи.

Очевидно, що для будь-якого ідеалу система утворюючих визначається однозначно. Множина елементів , побудована в доказі теореми 1, є системою утворюючих.

Якщо мається на увазі конкретна система утворюючого ідеалу, то будемо зображувати неї в круглих дужках, наприклад: (2,3)={0,2,3,4,…}={1}...

Аналог теореми Гильберта про базис, що затверджує, що якщо R - комутативне кільце, кожний ідеал якого звичайно породжений, те будь-який ідеал кільця багаточленів над R є звичайно породженим, невірна в класі півкілець, і прикладом тому служить півкільце . Як установлено, ідеали у звичайно породжені. Покажемо, що цією властивістю не володіє півкільце [x]. Нехай I - множина всіх багаточленів ненульового ступеня над . Ясно, що I ? ідеал. Кожної з багаточленів x, x+1, x+2,..., не можна нетривіальним образом представити у вигляді суми багаточленів з I, виходить, всі ці багаточлени необхідно лежать у будь-якій системі утворюючого ідеалу I. Таким чином, I не є звичайно породженим, і напівкільцевий аналог теореми Гильберта не вірний.

Теорема 2. Нехай ? система утворюючого ідеалу півкільця . Починаючи з деякого елемента , всі елементи ідеалу утворять арифметичну прогресію з різницею , що є найбільшим загальним дільником чисел .

Доказ. Нехай ? НОД всіх представників системи утворюючого ідеалу . По теоремі про лінійне подання НОД для деяких цілих . Покладемо ? максимум з абсолютних значень чисел . Тоді елементи й лежать в ідеалі . Очевидно, що ? найменше натуральне число, на яке можуть відрізнятися два елементи ідеалу , і . Позначимо . Нехай , для деяких цілих , і одне з них, допустимо , непозитивне. У такому випадку розглянемо число з такими досить більшими натуральними коефіцієнтами , щоб для будь-якого цілого виконувалося . Тоді для будь-який такий елемент

лежить в. Таким чином, починаючи з елемента , ми маємо арифметичну прогресію в точності з елемента, що лежать в ідеалі , причому перший і останній елементи відрізняються на . Додаючи до кожного із цих елементів, починаючи з , число , ми одержимо наступних елементів цієї ж прогресії. Таку процедуру можна повторювати як завгодно довго, одержуючи елементи прогресії, мабуть, що лежать в ідеалі . Показали, що, принаймні, із числа всі елементи ідеалу утворять арифметичну прогресію.

Наслідок 1. Нехай ? довільний ідеал півкільця . Існує така кінцева множина елементів з , що є головним ідеалом.

Наслідок 2. Якщо система утворюючого ідеалу півкільця складається із взаємно простих у сукупності чисел, те, починаючи з деякого елемента, всі наступні натуральні числа будуть належати ідеалу .

Зауваження. Нехай , і . Між ідеалами й , породженими системами утворюючих і відповідно, існує простий звязок, а саме: складається із всіх елементів ідеалу , помножених на число . Тим самим, вивчення ідеалів півкільця натуральних чисел зводиться до ідеалів із взаємно простою системою утворюючих. Надалі будемо вважати, що утворюючого ідеалу в сукупності взаємно прості й занумеровані в порядку зростання.

Теорема 3. У півкільці всяка строго зростаючий ланцюжок ідеалів обривається.

Доказ. Нехай ? зростаючий ланцюжок в. Тоді ? звичайно породжений ідеал з утворюючими . Кожний лежить у деяких ідеалах з ланцюжка, виходить, найдеться ідеал з ланцюжка, що містить всі елементи . Одержуємо , отже, ? останній ідеал у нашім ланцюжку.

З доведеної теореми робимо висновок про те, що досліджуване півкільце натуральних чисел є нетеровим.