2. Основні відомості з теорії функцій, що відбивають

Розглянемо систему

(1)

уважаючи, що її права частина безперервна й має безперервні частки похідні по . Загальне рішення цієї системи у формі Коші позначимо через . Через позначимо інтервал існування рішення

Нехай

Визначення: функцією, що відбиває, (1) системи назвемо функцію

обумовлену формулою

(2)

або формулами

Для функції, що відбиває, справедливі властивості:

1) Для будь-якого рішення

системи (1) вірна тотожність

(3)

2) Для функції, що відображає, будь-якої системи виконані тотожності:

(4)

3) Диференцюєма функція

буде функцією, що відбиває, (1) системи тоді й тільки тоді, коли вона задовольняє рівнянням у частинних похідних

(5)

і початковій умові

(6)

Рівняння (5) будемо називати основним рівнянням (основним співвідношенням) для функції, що відбиває.

Доказ. Властивість 1) треба безпосередньо з визначення (2). Для доказу властивості 2) помітимо, що відповідно до властивості 1) для будь-якого рішення системи (1) вірні тотожності

Із цих тотожностей у силу того, що через кожну крапку проходить деяке рішення системи (1), і випливають тотожності (5).

Приступимося до доказу властивості 3). Нехай - функція, що відбиває, (1)системи . Тоді для неї вірна тотожність (3). Диференціюємо цю тотожність по й скористаємося тим, що - рішення системи (1), і самою тотожністю (3). Одержимо тотожність

з якого в силу довільності рішення треба, що - рішення системи (5). Початкова умова відповідно до властивості 2) так само виконується.

Нехай деяка функція задовольняє системі (5) й умові (6). Тому що цій системі й цій умові задовольняє так само й функція, що відбиває, то з одиничності рішення (5) задачі (6) - функція повинна збігатися з функцією, що відбиває. Властивість 3) доведено.

Лема Основна лема 3 Нехай права частина системи (1) -періодична по , безперервна й має безперервні частки похідні по змінним . Тоді відображення за період для системи (1) можна знайти по формулі

і тому рішення

системи (1) буде - періодичним тоді й тільки тоді, коли є рішення недиференціальної системи

 (7)

Як наслідок цієї леми доведемо наступне припущення.

Твердження 4 Нехай безупинно диференцюєма функція -періодична й нечетна по , тобто

и. Тоді всяке продовження на відрізок рішення системи (1) буде -періодичним і парним по .

Доказ. Для доказу досить помітити, що функція задовольняє рівнянню (5) й умові (6). Тому вона відповідно до властивості 3) є функцією, що відбиває, розглянутої системи. Рівняння (7) в нашім випадку вироджується в тотожність, і йому задовольняє кожне , для якого визначене значення

Відповідно до основної леми будь-яке рішення системи (1) буде -періодичним. Парність довільного рішення системи (1) треба з тотожностей

справедливих у силу властивості 1) функції, що відбиває.

Справедливі наступні твердження [4].

Теорема 5 Нехай всі рішення системи (1) -періодичні й однозначно визначаються своїми початковими даними. Тоді, що відбиває функція, цієї системи -періодична по

Теорема 6 Нехай система (1) -періодична по а її рішення однозначно визначаються своїми початковими даними й існують при всіх Якщо, крім того, що відбиває функція цієї системи -періодична по те всі рішення системи (1) періодичні з періодом

Аналогічна теорема має місце в тому випадку, коли не всі рішення системи (1) продовжимі на відрізок При цьому висновок про -періодичність можна зробити лише для тих рішень, які існують при всіх

З -періодичності функції, що відбиває, треба -періодичність всіх продовжимих на рішення періодичної (1)системи . З -періодичності функції, що відбиває, не треба, загалом кажучи, -періодичність рішень -періодичної системи, хоча треба їх -періодичність.

Не слід думати, що якщо всі рішення -періодичної системи -періодичні, те її функція, що відбиває, зобовязана бути -періодичної. Цьому суперечить приклад рівняння

У випадку, коли , тобто коли система (1) вироджується в рівняння, вірна

Теорема 7 Нехай рівняння (1) -періодичне по а його рішення однозначно визначаються своїми початковими даними й існують при всіх Тоді для того, щоб всі рішення рівняння (1) були -періодичні, необхідна й достатня -періодичність по функції, що відбиває, цього рівняння.