6.2 Побудова систем із заданою парною частиною

Розглянемо систему (14). Будемо будувати систему із заданою парною частиною.

Нехай нам відома парна частина . Скористаємося формулою (15) й перетворимо її

Отже, можемо записати

Звідси знаючи (3), одержимо

де - функція, що відбиває, системи. Крім із попереднього співвідношення, з довільною функцією, що відбиває , задовольняючій умові

одержимо необхідну систему.

Приклад 16 Нехай

де - задана парна частина, . Диференціюємо обидві частини рівності

Перетворимо праву частину

Перепишемо отримане у вигляді:

Виразимо :

(17)

Для всіх систем виду (17) повинне бути виконане умова

Візьмемо

Знайдемо , . ;

Підставимо значення , у систему (17):

Одержуємо необхідну систему:

Приклад 17 Нехай

де - задана парна частина, . Диференціюємо обидві частини рівності

і перетворимо праву частину

Перепишемо отримане у вигляді:

Виразимо :

(18)

Для всіх таких систем повинне бути виконане умова .

Візьмемо . Знайдемо , . ,

Підставимо знайдені значення в систему (18) й зробивши перетворення аналогічні прикладу 16, одержуємо:

Розглянемо тепер загальний випадок, коли нам задана парна частина загального рішення системи з функцією, що відбиває . У цьому випадку

Тому, якщо нам задана, то зі співвідношення

при заданій ми знайдемо загальне рішення шуканої системи. Саму систему ми побудуємо крім зі співвідношень

Таким чином, ми прийшли до

Теорема 18 Усяка система

(19)

де перебувають із системи

при будь-якої заданої диференціюємої функції , що задовольняє співвідношенням

має загальне рішення з парною частиною .

Якщо

те система (19) має вигляд:

Таким чином, ми прийшли до висновку:

Наслідок 19 Загальне рішення диференціальної системи має постійну парну частину тоді й тільки тоді, коли ця система найпростіша.