Введение

Одному известному английскому философу-материалисту Д. Гартли принадлежало высказывание- "Поскольку слова могут быть сравнены с буквами, употребляемыми в алгебре, сам язык можно назвать одним из видов алгебры, и наоборот, алгебра есть не что иное, как язык, который особым образом приспособлен к объяснению величин всех родов… И вот, если все относящееся к языку имеет что-либо аналогичное в алгебре, то можно надеяться объяснить трудности, возникающие в теории языка, при посредстве соответствующих конкретных положений алгебры, в которой все ясно и признано всеми, кто сделал ее предметом своего изучения".

Предметом моего изучения является один из разделов не ассоциативной алгебры - алгебра октав.

Цель данной исследовательской работы- выявить сущность алгебры октав, а так же выявить, каким образом производятся действия над упорядоченной восьмеркой чисел, т.е. над (1, i, j, k, E, I, J, K).Не ассоциативные алгебры в настоящее время покрыты мифами экзотики. На самом деле ничего особенного, кроме потери ассоциативности, в них нет. Впрочем, эта потеря существенна. Если можно выразиться образно, то в космосе алгебр за ассоциативными уже ничего "живого" нет. Среди не ассоциативных алгебр наиболее известной является простейшая из них - алгебра октав. Или, иначе, четвертая алгебра Фробениуса, она же алгебра Кэли-Диксона.

Рассмотрим алгебраическое определение октавы.

Октавой - называется число гиперкомплексной алгебры, полученной некоммутативным удвоением по Кэли алгебры кватернионов:

Здесь обозначены:

O - октава,

Q - кватернионы,

E - мнимая единица. .

Октавы во многих случаях уместно рассматривать как существенное расширение кватернионов. Так же как и кватернионы, октавы не имеют делителей нуля, и квадрат модуля так же выражается простой квадратичной формой. Для них, так же как и для кватернионов, можно определить условное скалярное произведение. Которое и использовалось Фробениусом.

Объектом данной дипломной работы являются гиперкомплексные числа.

Для октав, как и для других гиперкомплексных чисел, определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Операции сложения и вычитания определены покомпонентно. Умножение октав определено таблицей произведения их мнимых единиц. Для выполнения деления производится замена операции деления на операцию умножения.

При использовании гиперкомплексных чисел и их исследовании часто встречается операция сопряжения.

Для октав определены две операции сопряжения - алгебраическое и векторное. Два других сопряжения - дуальное и скалярное не применимы в силу отсутствия в строении октав скалярной и дуальной мнимых единиц. При этом векторное и алгебраическое сопряжения совпадают. Октава, сопряженная заданной, образуется сменой знаков у компонент при всех мнимых единицах. Или, если ,обозначить октаву покомпонентно как

,

то сопряженная ей октава будет иметь вид:

.