§4. Сопряженные октавы и их свойства

Определение. Если дана октава

w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,

то октава

= a-bi-cj-dk- Ae-BI-CJ-DK

называется сопряженным ему. В случае, когда октава w выражена через кватернионы и и v как u+ ve, то сопряженная ей октава равна = u- ve.

Свойства сопряженных октав:

1) р + = 2а R (выводится непосредственным сложением октавы

р=a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK

с сопряженной ей октавой).

(a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK)+ (a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK)=2a.

2) w=w = a² + b² + c² + d² + A² + B² + C² + D².

В самом деле:

w=(u+ ve)(u- ve) = (uu -(-)v)+(-vu+vu)e = (uu+ )+(-vu+vu)e =(|u|² + |v|²) + 0e = |u|² + |v|².

Здесь и и v кватернионы

u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk.

А так как

|u|² = a² + b² + c² + d², |v|² = A² + B² + C² + D²,

то w=|u|² + |v|² = a² + b² + c² + d² + A² + B² + C² + D².

Аналогично доказывается равенство

w = a² + b² + c² + d² + A² + B² + C² + D².

3) w= w= а R.

4) =+

(вычисление левой и правой частей равенства дает

одинаковые значения).

В самом деле:

w₁₊ w = (a+bi+cj+dk+( Ae+BI+CJ+DK))+ (a₁+b₁i+c₁j+d₁k+ A₁e+B₁I+C₁J+D₁K);

левая часть:

=(a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK)+(a₁-b₁i-c₁j-d₁k- A₁e-B₁I-C₁J-D₁K);

правая часть:

= (a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK);

=( a₁-b₁i-c₁j-d₁k- A₁e-B₁I-C₁J-D₁K);

+=(a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK)+(a₁-b₁i-c₁j-d₁k-A₁e-B₁I-C₁J-D₁K).

Отсюда следует, что

:= +.

5) =.

Пусть

w = u+ ve, w₁ = u₁+ v₁e,

где u, u₁ v, v₁ - кватернионы.

Так как

w w₁= (u+ ve) ( u₁+ v₁e) = (uu₁ - v) + (v₁u+vu₁)e,

то

= + (v₁u+vu₁)e= (u₁u -v) - (v₁u+vu₁)e.

С другой стороны:

= (u₁ - v₁e) (u - ve) = (u₁ u -(- (-v₁))+(- vu₁ -v₁) = (u₁u -v₁) - (vu₁ + v₁u)e.

В силу совпадения правых частей полученных равенств и следует тождество 5.

6) w+w₁=2 (aa₁+bb₁+cc₁+dd₁+A A₁+BB₁+CC₁ +DD₁) R,

Если

w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK, w₁ =a₁+b₁i+c₁j+d₁k+ A₁e+B₁I+C₁J+D₁K.

Пусть

w = u+ ve, w₁ = u₁+ v₁e,

где u, u₁ v, v₁ - кватернионы. Так как

w=(u+ ve) (u₁ - v₁e) = (u u₁+v)+(- v₁u+ v₁)e = (u u₁+v)(vu₁ -v₁u)e

а w₁=( u₁+ v₁e) (u - ve) = (u₁u+ v₁) + (-vu₁+v₁u)e,

то сложив эти два равенства, получим:

w+ w₁= (u u₁+v+u₁u+ v₁) + (- v₁u+ vu₁ - vu₁+v₁u)e= (u u₁+u₁u +v + v₁) + 0e = u u₁+u₁u +v + v₁ .

В силу свойства 6) сопряженных кватернионов имеют место:

u u₁+u₁u =2 (aa₁+bb₁+cc₁+dd₁),

v + v₁ = 2 (A A₁+BB₁+CC₁ +DD₁),

u = a+bi+cj+dk, u₁ = a₁+b₁i+c₁j+d₁k,

v = A+Bi+Cj+Dk, v₁ = A₁+B₁i+C₁j+D₁k.

Тогда из последних равенств следует

w+ w₁= 2 (aa₁+bb₁+cc₁+dd₁+A A₁+BB₁+CC₁ +DD₁).

4.1 Модуль октавы

Определение. Модулем октавы

w=a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK

называется

Модуль октавы w обозначается |w|. Следовательно,

|w| = .

Из свойства 2) сопряженных октав следует |w|² = w=w. Модуль октавы обладает свойствами:

1) |w| ? 0 и |w| = 0 w=0;

2) |w w₁| = |w|*|w₁|.

Действительно,

|w w₁|² = (w w₁)() = (w w₁) () = w(w_1*)= w|w₁|²= |w₁|² w= |w₁|²|w|²,

Откуда

|w w₁| = |w||w₁|

Равенство |pq| = |p| |q| после возведения обеих частей в квадрат в развернутом виде имеет вид:

|w w₁| = |w| * |w₁|.

(a² + b² + c² + d² + A² + B² + C² + D²) () = (aa₁ - bb₁ - cc₁ - dd₁ - AA₁ -BB₁ - CC₁ - DD₁)² +(ab₁ + a₁b + cd₁ - c₁d - A₁B + B₁A + C₁D - CD₁)² +(ac₁ + a₁c - bd₁ + b₁d - a₁c + ac₁ - b₁d + bd₁)² +(ad₁ + a₁d+ bc₁ - b₁c - a₁d + ad₁ + b₁c - bc₁)² +(a₁a - b₁b - c₁c -d₁d + Aa₁ + Bb₁ + Cc₁ + Dd₁)² +

(a₁b + b₁a + c₁d - d₁c - Ab₁ + Ba₁ - Cd₁ + Dc₁)² +(a₁c + c₁a - b₁d+ d₁b - ac₁ + ca₁ + bd₁ - db₁)² +(a₁ d+ d₁a+ b₁c - c₁b - ad₁ + da₁ - bc₁ + cb₁)².

Это равенство можно сформулировать так: произведение суммы квадратов восьми действительных чисел на сумму квадратов других восьми действительных чисел равно сумме квадратов восьми действительных чисел.

Если

w^/= bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK

- чисто мнимая октава, то

w^/2= (bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) (bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) = b² - c² - d² - A² - B² - C² - D² = -(b² + c² + d² + A² + B² + C² + D²) ? 0,

т.е. квадрат чисто мнимой октавы w^/ есть неположительное действительное число.

Можно показать и обратное: если квадрат октавы есть неположительное действительное число, то эта октава - чисто мнимая. Действительно, если октаву w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK представить в виде w = а + w^/, где w^/ - чисто мнимая октава

bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK, a, aR, то

w² = (а + w^/)(а + w^/) = a²+ w^/2+2a w^/ =a²- b² - c² - d² - A² - B² - C² - D² +2a w^/.

Если это выражение есть действительное число и а ? 0, то w^/= 0. Но тогда w=а, и следовательно, w² = а² не может быть ? 0. Следовательно, только октавы вида

w^/= bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK

могут обладать тем условием, что их квадраты являются неположительными действительными числами. С учетом этого, октаву можно представить в виде w = а + w^/ где a ,aR, w^/2? 0. Тогда сопряженная ей октава = а -p ^/.

В ходе доказательства непротиворечивости системы аксиом алгебры октав мы получили, что

(u; v)^-1 = ; -.

Так как (и; v) = и + ve, то тогда

(и + ve)^-1 = -.

Если

u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk,

это означает, что

(a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK)^-1== ,

если

w = и + ve = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK.

Итак, октава, обратная октаве w, есть октава .

Покажем, что в алгебре октав имеет место равенство:

(ww₁) ₁ = w(w₁₁).

Пусть w = u+ ve, w₁ = u₁+ v₁e, где u, u₁ v, v₁ K, Тогда:

(ww₁)₁ = ((u+ ve)( u₁+ v₁e))(u₁ - v₁e) = ((uu₁ -v)+ (v₁u+ v u₁)e)(u₁ - v₁e) = ((uu₁ -v)u₁+ (v₁u+ v u₁))+(-v₁(uu₁ -v)+ (v₁u+ v u₁)₁)e = (uu₁ u₁ -vu₁+ v₁u+ vu₁) +(-v₁uu₁ +v₁v + v₁u u₁+ vu₁u₁)e = (u|u₁|² + |v₁|²u)+(v|v₁|² + |u₁|²v)e = u(|u₁|²+ |v₁|²)+ v(|v₁|² + |u₁|²)e = (|u₁|²+ |v₁|²)( u+ ve) = |w₁|²w.