Алгебра октав

1.1 Непротиворечивость системы аксиом алгебры октав

Теорема 1. Система аксиом алгебры октав непротиворечива. Для доказательства непротиворечивости сформулированной выше системы аксиом построим следующую модель. Составим декартово произведение K x K = {(u,v)|uK vK}, где К - множество кватернионов. По определению, (u₁;v₁) = (u₂;v₂) u₁=u₂v₁= v₂_.

Во множестве К х K определим операции сложения и умножения по правилам:

(u₁;v₁) + (u₂;v₂) = (u₁+u₂; v₁+ v₂);

(u₁;v₁) * (u₂;v₂) = (u₁u₂- v₂v₁; v₂ u₁ + v₁ u₂)_.

Перейдем к проверке выполнения аксиом на построенной модели. Покажем, что алгебра есть альтернативная линейная алгебра.

Сначала покажем, что (К x К, +) есть абелева группа.

1) ((u₁;v₁) + (u₂;v₂)) + (u₃;v₃) = (u₁+u₂; v₁+ v₂) + (u₃; v₃) = ((u₁+u₂) + u₃; (v₁+ v₂) + v₃) = (u₁+(u₂ + u₃); v₁+ (v₂ + v₃)) = ((u₁; v₁) + (u₂+ u₃;v₂+ v₃) = (u₁; v₁) + ((u₂; v₂) + (u₃; v₃)),

т.е. сложение в (К х K, +) ассоциативно.

2) (u₁; v₁) + (u₂; v₂) = (u₁+u₂; v₁+ v₂) = (u₂+u₁; v₂+ v₁) = (u₂; v₂) + (u₁; v₁),

т.е. сложение в (К х K, +) коммутативно.

3) Решим уравнение

(u; v) + (x; y) = (u; v);

(u+ x; v+ y) = (u; v) u+ x = u^ v+ y= v ; x = 0, y = 0 ,т.е. (x; у) = (0;0).

Следовательно, нейтральным элементом в (К х K, +) является пара (0; 0). Обозначим (0; 0) = 0_U.

4) Решим уравнение

(u; v) + (x; y) = (0; 0):

(u+ x; v+ y) = (0; 0) u+ x = 0^ v+ y= 0 x = - u ^ y = - v, т.е. (x; у) = (- u; - v) или -(u; v) = (- u; - v).

Из 1) ,4) следует, что алгебра (К х K, +) есть абелева группа. Покажем, что алгебра (К х K, +, .) есть кольцо, но не ассоциативное и не коммутативное.

5) Покажем, что умножение в дистрибутивно относительно сложения как слева, так и справа.

С одной стороны:

((u₁; v₁) + (u₂; v₂)) (u₃; v₃) = (u₁+u₂; v₁+ v₂) (u₃; v₃) = ((u₁+u₂) u₃- ₃(v₁+ v₂); v₃(u₁+u₂)+ (v₁+ v₂)u₃) = (u₁ u₃+u₂ u₃- ₃v₁- ₃v₂; v₃u₁+ v₃u₂+ v₁ u₃+ v₂u₃).

С другой стороны:

(u₁; v₁) (u₃; v₃) + (u₂; v₂) (u₃; v₃) = (u₁u₃ - ₃v₁; v₃u₁+ v₁u₃)+(u₂ u₃ - ₃v₂; v₃u₂+ v₂u₃)=(u₁ u₃ - ₃v₁+ u₂ u₃ - ₃v₂; v₃u₁+ v₁u₃ + v₃u₂+ v₂u₃).

Сопоставляя правые части полученных равенств, замечаем, что они равны. Следовательно,

((u₁; v₁) + (u₂; v₂)) (u₃; v₃) = (u₁; v₁) (u₃; v₃) + (u₂; v₂) (u₃; v₃),

т.е. умножение в дистрибутивно справа относительно сложения.

Аналогично устанавливается равенство:

(u₃; v₃) ((u₁; v₁) + (u₂; v₂)) = (u₃; v₃) (u₂; v₂) + (u₃; v₃) (u₁; v₁).

Действительно, с одной стороны:

(u₃; v₃) ((u₁; v₁) + (u₂;v₂)) = (u₃; v₃) v (u₂+ u₁ ; v₁+ v₂) = (u₃ (u₁+u₂); ()v₃;

(v₁+ v₂)u₃+ v₃())= (u₃u₁ +u₃u₂ -₁v₃ - ₂v₃; v₁ u₃+u₂ u₃+ v₃u₁+ v₃u₂);

с другой стороны:

(u₃; v₃) (u₁; v₁) +(u₃; v₃) (u₂; v₂) = (u₃u₁ - ₁v₃;v₁ u₃+ v₃u₁)+ (u₃u₂ - ₂v₃;v₂ u₃+ v₃u₂)= (u₃u₁ - ₁v₁+u₃u₂- ₂v₃; v₁ u₃+ v₃u₁ +v₂ u₃+ v₃u₂).

Сопоставляя правые части полученных равенств, замечаем, что они равны. Следовательно, умножение в дистрибутивно слева относительно сложения .

6) Покажем, что умножение в не ассоциативно.

Действительно, с одной стороны:

((u₁; v₁) (u₂; v₂)) (u₃; v₃) = (u₁u₂ - ₂v₁; v₂ u₁+ v₁u₂) (u₃; v₃) = ((u₁u₂ - ₂v₁)u₃-₃(v₂ u₁+ v₁u₂);

v₃(u₁u₂ - ₂v₁)- (v₂ u₁+ v₁u₂) u₃) = (u₁u₂ u₃ - ₂v₁u₃-₃v₂ u₁-₃v₁u₂; v₃u₁u₂ - v₃₂v₁- v₂ u₁ u₃- v₁u₂ u₃).

С другой стороны:

(u₁; v₁) ((u₂; v₂) (u₃; v₃)) = (u₁; v₁) (u₂u₃ - ₃v₂; v₃u₂+ v₂u₃) = (u₁ (u₂u₃ - ₃v₂) - v₁;

v₁+ (v₃u₂+ v₂u₃) u₁) = (u₁u₂u₃ - u₁₃v₂ -v₁- u₃₂v₁; v₁- v₁₂v₃ + v₃u₂ u₁+ v₂u₃ u₁).

Из сопоставления правых частей этих равенств следует, что

((u₁; v₁) (u₂; v₂)) (u₃; v₃) ? (u₁; v₁) ((u₂; v₂) (u₃; v₃))

т.е. умножение в не ассоциативно.

7) Рассмотрим произведения:

(u₁;v₁) (u₂;v₂) = (u₁u₂- ₂v₁; v₂ u₁ + v₁ u₂);

(u₂;v₂) (u₁;v₁) =(u₂u₁- ₁v₂; v₁ u₂ + v₂ u₁).

Сравнивая правые части этих равенств, убеждаемся, что

(u₁;v₁) (u₂;v₂) ? (u₂;v₂) (u₁;v₁)

т.е. умножение в не коммутативно.

8) Покажем, что имеет место равенство

((u₁; v₁) (u₂; v₂)) (u₂; v₂) = (u₁; v₁) ((u₂; v₂) (u₂; v₂))

Преобразовав левую сторону этого равенства, получаем:

((u₁; v₁) (u₂; v₂)) (u₂; v₂) = (u₁u₂ - ₂v₁; v₂ u₁+ v₁u₂) (u₂; v₂) = ((u₁u₂ - ₂v₁)u₂-₂(v₂ u₁+ v₁u₂);

v₂(u₁u₂ - ₂v₁)- (v₂ u₁+ v₁u₂) u₂) = (u₁u₂ u₂ - ₂v₁u₂-₂v₂ u₁-₂v₁u₂; v₂u₁u₂ - v₂₂v₁- v₂ u₁ u₂- v₁) = (u₁u₂ u₂ - ₂v₁(u₂₊ u₂)- |v₂|² u₁; v₂u₁(u₂ + u₂)- v₁- |v₂|²v₁) .

Преобразовав правую сторону этого равенства, получаем:

(u₁; v₁) ((u₂; v₂) (u₂; v₂)) = (u₁; v₁) (u₂u₂ - ₂v₂; v₂ u₂+ v₂u₂) = (u₁(u₂u₂ - ₂v₂) -()v₁;

v₁() + (v₂ u₂+ v₂u₂) u₁) = (u₁u₂u₂ - u₁₂v₂ -v₁- u₂₂v₁;

v₁- v₁₂v₂ + v₂ u₂u₁+ v₂u₂ u₁) = (u₁u₂ u₂ - (u₂+ u₂) ₂v₁- u₁|v₂|²; (u₂ + u₂)v₂u₁+ v₁- v₁|v₂|²).

Здесь следует учитывать, что ₂v₂=v₂₂= |v₂|²и u₂ + u₂- действительные числа. Сравнивая правые части полученных равенств, убеждаемся, что они совпадают с точностью до порядка слагаемых. Следовательно, равенство 8) справедливо.

9) Покажем, что имеет место равенство

(u₂; v₂) ((u₂; v₂) (u₁; v₁)) = ((u₂; v₂) (u₂; v₂)) (u₁; v₁).

Преобразовав левую сторону этого равенства, получаем:

(u₂; v₂) ((u₂; v₂) (u₁; v₁)) = (u₂; v₂) (u₂u₁- ₁v₂; v₁ u₂+ v₂u₁) = (u₂(u₁u₂ - ₂v₁) - v₂;

(v₁ u₂- v₂u₁) u₂+ v₂) = (u₂u₁u₂ - u₂₁v₂ -v₂- u₁₂v₂; v₁u₂u₂+ v₂u₁ u₂+ v₂- v₂₂v₁) = (u₂u₁u₂ - u₁ |v₂|²- (u₂ + u₂)₁v₂; v₁u₂u₂+ v₂u₁(u₂ + u₂)- |v₂|²v₁).

Преобразовав правую сторону этого равенства, получаем:

((u₂; v₂) (u₂; v₂)) (u₁; v₁) = (u₂u₂ - ₂v₂; v₂ u₂+ v₂u₂) (u₁; v₁) = ((u₂u₂ - ₂v₂) u₁ - ₁(v₂ u₂+ v₂u₂);

v₁(u₂u₂ - ₂v₂) + (v₂ u₂+ v₂u₂) u₁) = (u₂u₂ u₁- ₂v₂ u₁ - ₁v₂ u₂- ₁v₂ u₂; v₁u₂u₂ - v₁₂v₂ + v₂ u₂ u₁+ v₂) = u₂u₂ u₁ - ₁v₂(u₂ + u₂) - |v₂|²u₁; v₁u₂u₂ - v₁ |v₂|²+ v₂ u₁(u₂+ u₂).

Сравнивая правые части полученных равенств, убеждаемся, что они совпадают с точностью до порядка слагаемых. Следовательно, равенство 9 справедливо.

Из равенств 8) и 9) следует, что умножение в альтернативно.

10) Для определения правого нейтрального элемента (единицы) относительно операции умножения в решим уравнение:

(u; v) (x; y) = (u; v),

в котором и и v одновременно не равны 0, так как (0; 0) = 0_и и это уравнение будет иметь любое решение. Пусть u ? 0. Тогда:

(u; v) (х; у) = (u; v) (хu - y; уи + v) = (и; v)

Умножим обе части первого уравнения этой системы слева на u^-1=,откуда:

(u^-1 u) x = u^-1v+ u^-1ux = v =1+ уи.

Подставим полученное значение во второе уравнение системы:

v(1+ уи) + уи = vv+ v уи+ уи = vуи+уи=0 (+1)уи=0,

откуда при u ? 0 следует, что у = 0. Тогда = 0 и из первого уравнения системы

их = и следует, что х = 1. Итак, пара (х; у) = (1; 0) является правым единичным элементом в .

В случае, если и = 0, v ? 0, второе уравнение .системы имеет вид v = v, откуда сразу х = 1, а из первого уравнения системы у = 0, т.е. приходим к тому же решению.

Для определения левого нейтрального элемента (единицы) относиnельно операции умножения в решим уравнение:

(х; у) (u; v) = (u; v),

в котором опять и и v одновременно не считаем равными 0, так как (0; 0) = 0_Uи это уравнение будет иметь любое решение. Пусть опять u ? 0. Тогда:

(х; у) (и; v) = (и: v) (хи - y; vх - уu) = (и; v)

Умножим обе части первого уравнения этой системы справа на u^-1=, откуда:

x(uu^-1) = y+ u*u^-1x = 1+ ₂yu,

Подставим полученное значение х во второе уравнение системы:

v(1+ ₂yu) + уu= vv + ₂ vyu + уu= vyu+ уu= 0 (+ 1)уu =0,

откуда при u ? 0 следует, что у = 0 и из первого уравнения системы хu = и следует, что х = 1. Итак, пара (х; у) = (1; 0) является и левым единичным элементом в . Обозначим (1; 0) = 1_U,

11) Для определения правого симметричного для (u; v) элемента решим уравнение:

(u; v) (х: у) = (1; 0) (их - v; уи+ v) = (1; 0)

Умножим обе части первого уравнения этой системы слева на u^-1=₂, откуда:

(u^-1u) x = u^-1v + u^-1x =₂+₂v = ₂+ ₂yu.

Подставим полученное значение во второе уравнение системы:

v+ + уи= 0 ₂+ ₂ vyu + уи= 0 (|u|² + |v|²) yu = - vu (|u|² + |v|²) y = - v,

откуда

у = - .

Тогда из второго уравнения системы

v- u =0v- =0 = x= .

Итак, пара

(x; y) = ; -

является правым обратным элементом для элемента (u; v) в .

Для определения левого симметричного элемента для элемента (u; v) относительно операции умножения в решим уравнение:

(х; у) (u; v) = (1; 0),

в котором опять и и v одновременно не считаем равными 0. Пусть опять и ? 0. Тогда:

(х; у) (u; v) = (1; 0) (xu - y; vx + yu) = (1; 0)

Умножим обе части первого уравнения этой системы справа на u^-1=₂откуда:

x (u u^-1) = y₂+ ₂ x = ₂ (yu + u).

Подставим полученное значение х во второе уравнение системы:

v₂(yu + + u) + yu = 0 (|u|² + |v|²) yu = - vu

откуда при u ? 0 следует, что у = - . и, подставив это значение у в первое уравнение системы, получаем

xu - = 1,

откуда следует, что

xu= 1 - = .

Умножим это равенство справа на u^-1=, тогда

x = * =

Итак, пара

(x; y) = ; -

является и левым обратным элементом для элемента (u; v) в . Обозначим его (u, v)^-1.

Левый и правый обратные элементы для (u; v) совпадают и, следовательно, каждый ненулевой элемент обратим в .

Из 1)-11) следует, что алгебра есть альтернативная линейная алгебра с делением и единицей, т.е. в данной модели первая аксиома полностью выполняется.

Проверим выполнение второй аксиомы на построенной модели.

Пусть U₁ = {(u; 0)| u K}. Ясно, что U₁ K x K.

Покажем, что множество U₁замкнуто относительно введенных ранее операций сложения и умножения:

(u₁, 0) + (u₂, 0) = (u₁+ u₂: 0 + 0) = (u₁+ u₂: 0) U₁;

(u₁, 0) (u₂, 0) = (u₁u₂- 0; 0 u₁ + 0 u₂) = (u₁ u₂: 0) U₁.

- (u; 0) = (- u; - 0) = ( - u; 0) U₁;

(u; 0)^-1 = = U₁_,

откуда следует, что есть под тело алгебры ,.

Покажем, что изоморфно телу кватернионов . Для этого рассмотрим отображение f : U₁> K такое, что ((u; 0) є U₁) f ((u; 0)) = u, т.е. паре (и;0) ставит в соответствие кватернион и. Имеем:

f ((u₁; 0) + (u₂; 0)) = f ((u₁+ u₂: 0)) = u₁+ u₂ = f ((u₁; 0)) + f ((u₂; 0));

f (- (u; 0)) = f (( - u; 0)) = - u = - f ((u; 0));

f ((u₁; 0) (u₂; 0)) = f ((u₁ u₂: 0)) = u₁ u₂ = f ((u₁; 0)) f ((u₂; 0));

f ((u; 0)^-1) = f ((; 0)) = ; 0 = u^-1 = f ((u; 0))^-1,

откуда следует, что отображение f является гомоморфным отображением алгебры в тело кватернионов. Это отображение биективно, так как

f ((u₁; 0)) = f ((u₂; 0)) u₁= u₂ (и₁; 0) = (и₂; 0) и f (U₁) = К.

Следовательно, отображение f есть изоморфизм тела на тело кватернионов (К, +, .), т.е. тело изоморфно телу кватернионов. В этом случае мы можем рассматривать тело как лишь другую модификацию тела кватернионов, а пару (u;0) отождествлять с кватернионом и. А так как есть подтело алгебры , то и изоморфное ему тело кватернионов является подтелом алгебры .

Проверим выполнение третьей аксиомы. Для этого возьмем пару (0; 1). Имеем:

(0; 1)² = (0; 1) (0; 1) = (00 - 1; 10+1) = (-1; 0) = -(1; 0) = -(1; 0) = - 1.

С другой стороны:

(0; i) ? (i; 0) = i; (0: 1) ? (j; 0) = j; (0; k) ? (k; 0) = k.

Обозначим: (0; 1) = е. Следовательно, на построенной модели выполняется и третья аксиома.

Из проверки второй и третьей аксиом следует, что любой элемент (и; v) , представим в виде u + ve, где и, v є К и е² = -1. Действительно,

(u; v) = (u; 0) + (0: v) = (u; 0) + (v; 0) * (0; 1) = и + ve.

Проверим выполнение четвертой аксиомы. Пусть подалгебра алгебры , содержащее в себе тело кватернионов и элемент е. Ясно, что U^/ К х К. Если мы покажем, что К х K U^/, то тем самым совпадает с . Так как каждый элемент алгебры имеет вид u+ve, где и, v К. е² = - 1, то u + vjU^/, так как и, v К U^/, e U^/ и - альтернативная алгебра (а, следовательно, замкнута относительно сложения и умножения). Итак, К х K U^/, откуда U^/= К х K и, следовательно, имеет место выполнение четвертой аксиомы.

Так как на построенной модели выполняются все четыре сформулированные выше аксиомы алгебры октав, то эта система аксиом алгебры октав непротиворечива.

Мы показали, что любая октава представима в виде u+ve. где и, v К. Пусть

u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk, a,b,c,d, a,b,c,d R.

Тогда,

и + vе = a+bi+cj+dk + (A+Bi+Cj+Dk)e = a+bi+cj+dk+ Ae+B(ie)+C(je)+D(ke).

Вычислим

ie = (i; 0) (0; 1) = (i0 - 0; 1i + 0) = (0; i);

je = (j; 0) (0; 1) = (j0 - 0; 1j + 0) = (0; j);

ke = (k; 0) (0; 1) = (k0 - 0; 1k + 0) = (0; k),

откуда следует, что ie, je, ke отличны друг от друга и от предыдущих мнимых единид i, j, k, e.

Покажем, что (ie)²= (je)² = (ke)² = -1. Действительно,

(ie)² = (i; 0) (i; 0) = (ii - 0; 0i + 0i) = (-1; 0) = -1;

(je)² = (j; 0) (j; 0) = (jj - 0; 0j + 0i) = (-1; 0) = -1;

(ke)² = (k; 0) (k; 0) = (kk - 0; 0k + 0i) = (-1; 0) = -1.

Следовательно, ie, je, ke можно выбрать в качестве новых мнимых единиц, обозначив их соответственно iе = I, je = J. ke = К и октаву w записать в виде

w = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,

где a,b,c,d, a,b,c,d R.

Эту форму записи октавы назовем алгебраической формой. Обозначим КхK=U и назовем U алгеброй октав.

Содержание