Переменные состояния и фазовые траектории

Возвращаясь к уравнению Ферхюльста, отметим тот очевидный факт, что состояние системы, описываемой рассматриваемым ДУ, в каждый момент времени полностью описывается двумя переменными: и. Начальные значения этих переменных в момент времени:и(при неизменных коэффициентахq и K ) полностью определяют всю последующую динамику их изменения. В теории автоматического управления, широко использующей ДУ, такие переменные принято называть переменными состояния системы. Таким образом, практическим результатом решения ДУ является набор зависимостей переменных состояния от времени. В данном случае таких зависимостей две: и. Их графики, построенные дляимеют вид:

Помимо изображения графиков переменных состояния во временной области (т. е. их зависимостей от времени) удобным средством качественного анализа моделей, описываемых ДУ, является их изображение на фазовой плоскости (или, в общем случае, в фазовом пространстве), т. е. график зависимости одной переменной состояния от другой – фазовой траектории. Для тех же значений параметров модели фазовая траектория будет иметь вид:

Текущему состоянию системы соответствует перемещающаяся по фазовой траектории точка (изображение текущего состояния системы). На фазовой траектории всегда необходимо отмечать направление движения изображающей точки, соответствующее реальному развитие процесса во времени.

Множество всех возможных фазовых траекторий, характерных для системы при различных начальных условиях образует фазовый портрет системы. Ни одна траектория, входящая в состав фазового портрета, в полном фазовом пространстве не пересекает никакую другую – это следует из фундаментального свойства о единственности решения ДУ при одних и тех же начальных условиях.