Системы дифференциальных уравнений. Модель «хищник – жертва»
Особенно ценным аналитический инструмент фазовых траекторий является в случае, если модель описывается ДУ степени >1 или, что то же, системой ДУ первой степени. В этом случае для модели характерны изменения переменных состояния по периодическому закону и фазовая траектория приобретает вид замкнутой криволинейной фигуры.
Так, например, система автономных ДУ первого порядка в общем виде будет выглядеть как:
Рассмотрим пример. Для исследования процессов в системе из двух популяций, одна из которых является пищей для другой, была предложена модель «хищник – жертва» (модель Вольтера-Лотка, 1925 г.). Пусть x1 – численность популяции «зайцев» (жертв), а x2 – численность популяции «волков» (хищников). Модель представляет собой систему двух линейных ДУ следующего вида:
где -скорость размножения популяции жертвы в отсутствие хищника (как быстро будет увеличиваться количество зайцев, если все волки вымрут);
- скорость потребления популяцией хищника популяции жертвы (сколько зайцев съедает один волк за единицу времени);
- естественная смертность хищника (какая часть популяции волков умирает в единицу времени от естественных причин);
- коэффициент переработки потребленной хищником биомассы жертвы в биомассу потомства (сколько зайцев должна съесть одна пара волков, чтобы произвести на свет одну пару потомства).
Стационарные состояния определяется путем решения системы алгебраических уравнений (характеристические уравнения):
Таких точек в области действительных чисел две: и
Решения данной системы ДУ в окрестности ненулевого стационарного состояния будут иметь колебательный характер, например, такой:
На фазовой плоскости с осями x1, x2 возможные траектории движения изображающей точки (аттракторы) выглядят следующим образом:
Отметим интересный эффект, многократно подмеченный в живой природе, а впоследствии подтвержденный результатами моделирования. Пусть в системе «хищник – жертва» установился колебательный режим, описываемый аттрактором BC на фазовой плоскости. Предположим, что в момент времени, когда система находилась в точке C (численность хищников – минимальная) произведено принудительное уничтожение (отстрел) некоторого количества хищников. В результате изображающая точка переместилась вниз (точка D) и движется теперь по новому аттрактору AD. Заметим, что амплитуда колебаний численности хищников теперь увеличилась и по прошествии половины полного цикла колебаний система перейдет в точку A. Таким образом, налицо кажущийся парадокс – в результате отстрела пиковая численность хищников не только быстро восстановилась, но и увеличилась (!) по сравнению с первоначальным значением.
На самом деле никакого парадокса здесь нет. Попробуем рассуждать логически. Резко снизив количество хищников, мы тем самым дали толчок росту популяции жертв. Увеличение числа жертв в свою очередь способствовало значительному «улучшению питания» сильно поредевшей популяции хищников, что позволило ей резко повысить рождаемость и в короткие сроки не только восстановить, но и превзойти первоначальную пиковую численность.
Заметим, что анализ фазовых траекторий процесса позволил в данном случае прийти к правильному выводу автоматически, без каких-либо логических размышлений. Это лишь один из примеров, подтверждающий полезность математического моделирования при изучении процессов, протекающих в живой природе.
- Моделирование биологических процессов и систем Лекция 1. Введение в моделирование Основные понятия моделирования
- 1. Познание окружающего мира.
- 4. Эффективность управления объектом (или процессом).
- Классификация моделей
- Структурные модели
- Понятие адекватности модели
- Инструментальные средства моделирования
- Лекция 2. Модели, описываемые дифференциальными уравнениями Статические и динамические модели
- Простейшие модели, описываемые ду первого порядка: уравнения Мальтуса и Ферхюльста
- Стационарные состояния и устойчивость
- Переменные состояния и фазовые траектории
- Системы дифференциальных уравнений. Модель «хищник – жертва»
- Переход от дифференциального уравнения высокой степени к системе дифференциальных уравнений первой степени. Модель колебаний сердечной мышцы.
- Аналитическое и численное решения дифференциальных уравнений
- Тема 3. Стохастическое моделирование
- Параметры случайной величины
- Равномерное распределение
- Нормальное распределение
- Метод Монте-Карло
- Искусственные нейронные сети
- Биологический прототип
- Искусственный (математический) нейрон
- Нейронная сеть без обратных связей - персептрон
- Обучение нейронных сетей
- Нейронные сети с обратными связями
- Генетические алгоритмы оптимизации
- Операции с нечеткими множествами
- Нечеткое управление