5 Перетворення комплексного креслення. Метричні задачі

Загальні відомостіпро перетворення комплексного креслення

На комплексному кресленні геометричні об'єкти проеціюються так, що багато елементів, які їх складають, наприклад, відрізки прямих, кути, плоскі фіґури, зображуються зі спотворенням. Того ж часу при розв’язанні багатьох задач часто виникає необхідність перетворити комплексне креслення так, щоб необхідний елемент розташувався паралельно чи перпендикулярно до однієї з площин проекцій. Наприклад, необхідно, щоб відрізок прямої, яка є ребром багатогранника чи багатокутник, який являє собою грань багатогранника, розташувалися паралельно площині проекцій. У цьому випадку на таку площину вони будуть проеціююватися в дійсну величину.

Розв’язок таких задач значною мірою спрощується, якщо елементи простору, що нас цікавлять, займають особливе положення, тобто будуть розташовані паралельно чи перпендикулярно до площин проекцій. Одержані в цьому випадку "вироджені" проекції допомагають одержати відповідь на поставлену задачу чи спростити хід її розв’язку. Щоб досягти такого розташування геометричних елементів, комплексне креслення перетворюють чи перебудовують, виходячи з конкретних умов. Перетворення креслення відображає зміну положення геометричних образів чи площин проекцій у просторі. Задача перетворення комплексного креслення може бути розв’язана переміщенням проеціюючого тіла у просторі до необхідного положення чи зміною в просторі положення площин проекцій відносно геометричного тіла. Існує кілька методів розв’язання цих задач. В основному використовуються способи перетворення креслення: плоскопаралельне перенесення, спосіб заміни площин проекцій і спосіб обертання.

Оскільки особливих положень у прямих два й у площини - два, то існують чотири вихідні задачі для перетворення комплексного креслення:

• пряму загального положення зробити прямою рівня;

• пряму рівня зробити проеціюючою прямою;

• площину загального положення зробити проеціюючою площиною;

• проеціюючу площину зробити площиною рівня.

Спосіб плоскопаралельного переміщення

Спосіб плоскопаралельного переміщення оснований на тому, що при паралельному перенесенні геометричного тіла відносно площини проекцій проекція його на цю площину не змінює своєї форми і розмірів, хоча і змінює положення. При цьому якщо точка переміщається в площині, паралельній П₁, то фронтальна проекція траєкторії руху зображується у вигляді прямої, паралельній осі П₂/П₁. Якщо ж точка переміщається в площині, паралельній П₂, то горизонтальна проекція траекторії руху зображується у вигляді прямої, паралельній до тієї ж осі.

Рисунок 5.1

На рис. 5.1 показано комплексне креслення прямої АВ. Пряма не паралельна ні жодній з площин проекцій. Потрібно за допомогою плоскопаралельного переміщення задати їй таке положення, щоб вона була паралельна одній із площин проекцій, наприклад, П₂. Через довільну точку А₁, проводимо пряму l₁, паралельну осі П₂/П₁, і від цієї точки на прямій відкладаємо відрізок, який дорівнює А₁В₁. З точки А₁ проводимо вертикальну лінію зв'язку, а з точки A₂ – горизонтальну лінію, на перетинанні яких і буде нове положення фронтальної проекції А₂. Аналогічно проведемо вертикальну лінію зв'язку з точки В₁ до перетинання з горизонтальною лінією, проведеною з точки B₂. Нове положення фронтальної проекції точки В одержимо на перетинанні цих ліній у точці В₂.

Після перетворення креслення пряма АВ стала паралельна площині П₂, отже, спроеціювалась вона на цю площину в дійсну величину.

Застосовуючи метод плоскопаралельного переміщення, можна розв’язувати багато задач, пов'язаних із визначенням натуральної величини відрізків, кутів, плоских фіґур, а також наданням їм потрібного положення. Однак він пов'язаний зі зміною положення геометричної фіґури в просторі. У практиці ж зустрічаються задачі, під час розв’язку яких при перетворенні комплексного креслення зручніше залишити положення проеціюючого тіла незмінним, а змінити положення площин проекцій.

Спосіб заміни площин проекцій

Сутність цього способу полягає в тому, що заміняють одну з площин проекцій на нову площину, розташовану під будь-яким кутом до неї, але перпендикулярну до незамінної площини проекції. Нова площина повинна бути вибрана так, щоб відносно неї геометрична фіґура займала положення, яке забезпечує одержання проекцій, що найбільшою мірою задовольняють вимоги умов розв'язуваної задачі. Для розв’язку одних задач досить замінити одну площину, але якщо це розв’язання не забезпечує необхідного розташування геометричної фіґури, можна провести заміну двох площин.

Застосування цього способу характеризується тим, що просторове положення заданих елементів залишається незмінним, а змінюється система площин проекцій, на яких будують нові зображення геометричних образів. Додаткові площини проекцій вводять таким чином, щоб на них елементи, які нас цікавлять, зображувалися в зручному для конкретної задачі положенні.

Розглянемо розв’язок чотирьох вихідних задач способом заміни площин проекцій.

Вихідна задача 1. Перетворити креслення прямої загального положення так, щоб відносно нової площини проекцій пряма загального положення зайняла положення прямої рівня.

Нову проекцію прямої, що відповідає поставленій задачі, можна побудувати на новій площині проекцій П₄, розташувавши її паралельно самій прямій і перпендикулярно до однієї із основних площин проекцій, тобто від системи площин П₁_|_П₂ перейти до системи П₄_|_ П₁ чи П₄_|_П₂. На кресленні нова вісь проекцій повинна бути паралена одній з основних проекцій прямої. На рис. 5.2 побудовано зображення прямої l (А, В) загального положення в системі площин П₁_|_П₄, причому П₄ || l. Нові лінії зв'язку A₁A₄ і В₁В₄ проведені перпендикулярно до нової осі - П₁/П₄ паралельні горизонтальні проекції l₁.

Рисунок 5.2

Нова проекція А₄В₄ прямої дає дійсну величину відрізка АВ і дозволяє визначити нахил прямої до горизонтальної площини проекцій α. Кут нахилу прямої до фронтальної площини проекцій β можна визначити, побудувавши зображення прямої на іншій додатковій площині П₄_|_П₂ (рис. 5.3).

Рисунок 5.3

Вихідна задача 2. Перетворити креслення прямої рівня так, щоб відносно нової площини проекцій вона зайняла проеціююче положення.

Рисунок 5.4

Щоб на новій площині проекцій зображення прямої було точкою, нову площину проекцій потрібно розташувати перпендикулярно до даної прямої рівня. Горизонталь h буде мати своєю проекцією точки на площині П₄_|_ П₁ (рис. 5.4), а фронталь f – на П₄_|_ П₂.

Якщо потрібно побудувати вироджену в точку проекцію прямої загального положення, то для перетворення креслення буде потрібно зробити дві послідовні заміни площин проекцій. На рис. 5.5 вихідне креслення прямої l (А,В) перетворене у такий спосіб: спочатку побудовано зображення прямої на площині П₄_|_ П₂, розташованій параллельно прямій l. У системі площин П₂_|_П₄, пряма l зайняла положення лінії рівня (А₂А₄ _|_П₂/П₁; П₂/П₄ || l₂). Потім від системи П₂_|_П₄ здійснений перехід до системи П₄_|_П₅, причому друга нова площина проекцій П₅ перпендикулярна до прямої l. Оскільки точки А і В прямої знаходяться на однаковій відстані від площини П₄, то на площині П₅ одержуємо зображення прямої у вигляді точки (А₅ ≡ B₅ ≡ l₅).

Рисунок 5.5

Вихідна задача 3. Перетворити креслення площини загального положення так, щоб відносно нової площини вона зайняла проеціююче положення.

Для розв’язання цієї задачі нову площину проекцій потрібно розташувати перпендикулярно до даної площини загального положення і перпендикулярно до однієї з основних площин проекцій. Це можливо зробити, якщо врахувати, що напрямок ортоґонального проеціювання на нову площину проекцій повинен збігатися з напрямком відповідних ліній рівня даної площини загального положення. Тоді всі лінії цього рівня на новій площині проекцій зобразяться точками, що і дадуть "вироджену" у пряму проекцію площини.

На рис. 5.6 дано побудову нового зображення площини Q (ABC) у системі площин П₄ _|_П₁. Для цього в площині Q побудовано горизонталь h (A, 1), і нову площину проекцій П₄, яка розташована перпендикулярно до горизонталі h. Графічний розв’язок третьої вихідної задачі приводить до побудови зображення площини у вигляді прямої лінії, кут нахилу якої до нової осі проекції П₁/П₄ визначає кут нахилу α площини Q (ABC) до горизонтальної площини проекцій.

Побудувавши зображення площини загального положення в системі П₂_|_П₄ (П₄ розташувати перпендикулярно до фронталі площини), можна визначити кут нахилу β цієї площини до фронтальної площини проекцій.

Рисунок 5.6

Вихідна задача 4. Перетворити креслення проеціюючої площини так, щоб відносно нової площини вона зайняла положення площини рівня.

Розв’язок цієї задачі дозволяє визначити дійсні величини плоских фігур.

Нову площину проекцій потрібно розташувати паралельно заданої площини. Якщо вихідне положення площини було фронтально проеціюючим, то нове зображення будують у системі та П₂_|_П₄, а якщо горизонтально проеціюючим, то в системі П₁_|_П₄. Нова вісь проекцій буде розташована паралельно виродженій проекції проеціюючої площини. На рис. 5.7 побудовано нову проекцію А₄В₄С₄ горизонтально проеціюючої площини Σ (ABC) на площині П₄ _|_П₁.

Рисунок 5.7

Якщо у вихідному положенні площина займає загальне положення, а потрібно одержати зображення її як площини рівня, то виконують подвійну заміну площин проекцій, розв’язуючи послідовно задачу 3, а потім задачу 4. При першій заміні площина стає проеціюючою, а при другій – площиною рівня (рис. 5.8).

У площині Δ (АВС) проведено горизонталь h (А, 1). Перпендикулярно до горизонталі проведено першу вісь П₁/П₄ _|_ h₁. Друга нова вісь проекцій паралельна виродженій проекції площини, а нові лінії зв'язку – перпендикулярні до виродженої проекції площини. Відстані для побудови проекцій точок на площині П₅ потрібно виміряти на площині П₁ від осі П₁/П₂ і відкладати по нових лініях зв'язку від нової осі П₄/П₅. Проекція А₅В₅С₅ є дійсною величиною трикутника ABC.

Рисунок 5.8

Із застосуванням способу заміни площин можна розв’язувати ряд інших задач як самостійних, так і окремих частин задач, що включають великий обсяг графічних розв’язків.

Спосіб обертання

Як уже зазначалося, при перетворенні комплексного креслення можлива зміна положення заданих геометричних елементів відносно площин проекцій при незмінному положенні основних площин проекцій. Це здійснюється шляхом обертання цих елементів навколо деякої осі доти, поки ці елементи не займуть особливого положення у вихідній системі площин. Таке перетворення комплексного креслення називається способом обертання.

За вісь обертання в цьому випадку зручніше за все вибирати проеціюючі прямі, чи прямі рівні, тоді точки будуть обертатися в площинах, паралельних чи перпендикулярних до площин проекцій.

Рисунок 5.9 Рисунок 5.10

При обертанні навколо горизонтально проеціюючої прямої горизонтальна проекція А₁ точки А переміщається по колу, а фронтальна A₂ – по прямій, перпендикулярній до фронтальної проекції осі, що є фронтальною проекцією площини обертання Г₂ (рис. 5.9). При цьому відстань між горизонтальними проекціями двох точок А і В (рис. 5.10) при їх повороті на той самий кут залишається незмінною (А₁В₁ = A₁B₁).

Аналогічні висновки можна зробити і для обертання навколо фронтально проеціюючої прямої. При обертанні плоскої фігури навколо осі, перпендикулярної до площини проекцій, проекція її на цю площину не змінюється ні за величиною, ні за формою, тому що не змінюється нахил плоскої фіґури до цієї площини, а змінюється лише положення цієї проекції відносно лінії зв'язку. Друга ж проекція на площині, паралельній осі обертання, змінюється і за формою, і за величиною. Проекції точок на цій площині проекцій знаходяться на прямих, перпендикулярних до вихідних ліній зв'язку. Використовуючи ці властивості, можна застосувати для перетворення креслення спосіб обертання, не задаючи зображенням осі обертання і не встановлюючи величину радіуса обертання. Це – спосіб плоскопаралельного переміщення, при якому всі точки геометричної фіґури переміщаються у взаємно паралельних площинах без зміни дійсного виду і розмірів цієї фігури (рис. 5.11).

Рисунок 5.11

Трикутник ABC займає загальне положення. Першим плоскопаралельним переміщенням він поставлений у фронтально проеціююче положення за допомогою горизонталі h, яку розташуємо як фронтально проеціюючу пряму в площині її обертання Г || П₁. При цьому А₁В₁С₁ ≡ А₁В₁С₁, а площини обертання точок В і С паралельні площині Г.

Другим переміщенням АВС розташовано паралельно площині П₁. Без зміни залишено вироджену фронтальну проекцію трикутника (А₂В₂C₂ ≡ А₂В₂С₂), а нова горизонтальна проекція, що дає дійсну величину АВС, отримана побудовою нових горизонтальних проекцій точок А₁, В₁ і С₁ у результаті їх обертання в паралельних Φ фронтальних площинах рівня.

На цьому прикладі побудовано розв’язок третьої та четвертої вихідних задач шляхом перетворення комплексного креслення площини загального положення способом плоскопаралельного переміщення.

Рисунок 5.12

Якщо за вісь обертання взяти лінію рівня, то дійсну величину плоскої фіґури загального положення можна побудувати одним поворотом, тобто уникнути подвійного перетворення креслення, що мало місце в заміні площин проекцій і плоскопаралельному переміщенні. На рис. 5.12 побудовано зображення АВС (А₁В₁С₁) після повороту його навколо горизонталі h (С, 1) рівня Г ~ h. Оскільки горизонталь проходить через точку С, то остання - нерухома при обертанні трикутника. Потрібно повернути тільки точки А і В навколо горизонталі до з’єднання з площиною Г || П₁. Точка А обертається в горизонтально проеціюючій площині Σ^А, яка перпендикулярна до осі обертання. Центр обертання О точки А лежить на осі обертання. У момент, коли в результаті обертання точка А виявиться в площині Γ, тобто сполучиться з горизонтальною площиною рівня, її горизонтальна проекція А₁ буде вилучена від горизонтальної проекції осі обертання h₁ на відстань, що дорівнює справжній величині радіуса обертання R^А точки А. Натуральну величину R^А можна побудувати як гіпотенузу О₁А прямокутного трикутника, одним катетом якого є горизонтальна проекція радіуса A₁O₁, а другим - різниця висот точок А і О. Побудувавши сполучену горизонтальну проекцію точки А, легко добудувати зображення всього трикутника А₁B₁C₁ у сполученому з площиною Г положенні, використовуючи нерухому точку 1 і площину обертання точки В (Σ^В₁ _|_ h₁). Фронтальна проекція АВС буде вироджена в пряму і сполучиться з проекцією Г₂ площини сполучення.

Аналогічні дії виконують при обертанні плоскої фігури навколо її фронталі. Сполучення в цьому випадку ведеться з фронтальної площиною рівня (Ф || П₂), що проходить через вісь обертання – фронталь.

Способом обертання можуть бути розв’язані й інші задачі відповідно до їх умов.

Загальні відомостіпро метричні задачі

До метричних належать задачі, пов'язані з визначенням дійсних (натуральних) величин відстаней, кутів і плоских фіґур на комплексному кресленні. Можна виділити три групи метричних задач.

1. Задачі, які включають визначення відстаней від точки до іншої точки; від точки до прямої; від точки до площини; від точки до поверхні; від прямої до іншої прямої; від прямої до площини; від площини до площини. Причому відстань від прямої до площини і між площинами вимірюється в тих випадках, коли вони паралельні.

2. Задачі, які включають визначення кутів між прямими, що перетинаються, або мимобіжними прямими; між прямою і площиною; між площинами (маємо на увазі визначення величини двогранного кута).

3. Задачі, пов'язані з визначенням дійсної величини плоскої фіґури і частини поверхні (розгортки).

Наведені задачі можуть бути розв’язанні із застосуванням різних способів перетворення креслення. В основі розв’язку метричних задач лежить властивість прямокутного проеціювання, яка полягає в тому, що будь-яка геометрична фіґура на площину проекцій проеціюється натуральної величини, якщо вона лежить у площині, паралельній цій площині проекцій. Розв’язання задач значно спрощується, якщо хоча б одна з геометричних фіґур, які входять до задач, займає особливе положення. Якщо жодна з геометричних фіґур не займає особливого положення, необхідно виконати визначені побудови, що дозволяють провести одну з них у це положення.