4 Позиційні задачі

Загальні відомості про позиційні задачі

Задачі, пов'язані з рішенням питань взаємного розташування геометричних фіґур на комплексному кресленні, називаються позиційними.

Серед позиційних можна виділити дві групи задач, які являють собою найбільший практичний інтерес. До них належать задачі на взаємну належність і задачі на взаємне перетинання.

Розв’язок позиційних задач на належність передбачає роботу з лініями поверхні графічно простими, наприклад, прямою чи колом. Це необхідно для того, щоб не ускладнювати побудову на комплексному кресленні. Для правильного вибору цих ліній треба знати, які сімейства ліній несе на собі та чи інша поверхня.

Задачі на взаємне перетинання пов'язані з побудовою точок, що належать одночасно двом розглянутим геометричним образам, наприклад, прямій і площині, двом площинам, площині та поверхні, двом поверхням. Кожну з цих точок будують у перетинанні двох допоміжних ліній. Ці лінії повинні бути графічно простими і належати одній допоміжній площині чи поверхні. Вибір допоміжних поверхонь (посередників), що несуть у собі допоміжні лінії, залежить від форми поверхонь, які перетинаються. Сукупність побудованих загальних точок дозволяє побудувати лінію перетинання геометричних образів.

Перетин прямої з площиною

Пряма перетинає площину в одній точці. Точку перетину прямої з площиною визначають шляхом побудови допоміжної прямої лінії, що лежить в одній проеціюючій площині із заданою прямою. На рис. 4.1,а наведено комплексне креслення прямої l і площини Q (ABC). Через пряму l проводимо допоміжну горизонтально проеціюючу площину Σ, тобто Σ ₁ ~ l₁. У перетинанні площин Q і Σ одержуємо лінію т, тобто т = Σ ∩ Q. Горизонтальна проекція прямої т визначається горизонтальними проекціями точок 1 і 2 перетинання ліній ВС і АС із допоміжною площиною Σ , тобто В₁С₁ ∩ Σ₁ = l₁; А₁С₁ ∩ Σ₁ = 2₁ ; т₁ =1₁, 2₁.

Для одержання фронтальної проекції лінії l побудуємо фронтальні проекції точок 1 і 2, з'єднавши які, одержимо фронтальну проекцію m₂. У перетинанні фронтальних проекцій прямих т і l одержимо фронтальну проекцію точки К, яка належить і прямій l, і прямій т, що лежить у площині Σ. Виходить, точка К належить площині Σ, і є точкою перетину прямої l із площиною Σ.

Видимість прямої та площини відносно горизонтальної площини проекцій визначається за допомогою горизонтально конкуруючих точок 2 і 3, а видимість відносно фронтальної площини проекції – за допомогою фронтально конкуруючих точок 3 і 4.

Рисунок 4.1

Якщо площина займає особливе положення, то одна проекція точки перетину прямої з площиною визначається відразу в перетинанні виродженої проекції площини з відповідною проекцією прямої (рис. 4.1,б).

Якщо пряма перетинає площину під прямим кутом, то на комплексному кресленні проекції цієї прямої вони є перпендикулярними до проекцій відповідні лінії рівня площини на основі теореми про проеціювання прямого кута.

Рисунок 4.2

На рис. 4.2 побудовано проекції основи М перпендикуляра п, проведеного до площини Q (ABC) із точки К простору. В AВС маємо: АВ – горизонталь (A₂B₂ _|_ A₂A₁), AC – фронталь (А₁С₁_|_A₁A₂). Тому проекції перпендикуляра n ~ К розташовуються: п₁ _|_ A₁B₁ і n₂ _|_ А₂С₂. Основа перпендикуляра побудована за допомогою допоміжної лінії a горизонтально проеціюючої площини, яка проведена через перпендикуляр п (а ∩ п = М).

Якщо пряма перетинає площину в нескінченності, то має місце паралельність прямої з площиною. На рис. 4.3 побудовано пряму т, яка проходить через точку N і паралельна площині трикутника KLM. На комплексному кресленні паралельність прямої та площини доводиться тим, що m₁ || а₁ і m₂ || а₂; a ~ KLM.

Рисунок 4.3

Переріздвох площин

Дві площини перерізуються по прямій лінії. Для побудови лінії їх перерізу необхідно знайти дві точки, що належать цій лінії. Задача спрощується, якщо одна площин займає особливе положення. У цьому випадку її вироджена проекція містить у собі проекцію лінії перерізу площин.

Рисунок 4.4

На рис. 4.4 наведено комплексне креслення двох площин Σ і Q, які перерізуються, причому площина Σ особливого положення – фронтально проеціююча. Вона перетинає лінії АВ і АС площини Q, яка задана трикутником ABC – площини загального положення. Точки перетину 1 і 2 визначають лінію перетину площин. З'єднавши їх, одержуємо шукану лінію: a (1, 2) = Σ ∩ Q.

Лінію перерізу двох площин, що займають загальне положення, можна побудувати у вихідній системі площин проекції. Для цього двічі розв’язують задачу на побудову перетину прямої однієї площини з другою. Задачу можна розв’язувати в новій системі площин проекції, побудувавши зображення однієї з площин як проеціюючої площини.

На рис. 4.5,а побудовано лінію перерізу двох трикутників ABC і DEF шляхом побудови точки М перетину лінії АВ із площиною DEF і точки N перетину лінії EF із площиною АВС:

1. АВ ~ Σ¹ (Σ¹_|_П₂); Σ¹ ∩ DEF = l-2 (1₂-2₂; 1₁-2₁); 1₁-2₁ ∩ А₁B₁ = М₁; M₁M₂ || А₁A₂; М₁М₂ ∩ А₂В₂ = М₂; М (М,М₂).

2. EF ~ Σ² (Σ²_|_П₂); Σ² ∩ ABC = 3-4 (3₂-4₂; 3₁-4₁); 3₁-4₁ ∩ E₁F₁ = N₁; N₁N₂ || A₁,A₂; N₁N₂ ∩ E₂F₂ = N₂; N (N₁,N₂).

3. M₁ U N₁ = M₁N₁; M₂ U N₂ = M₂N₂.

4. ABC ∩ DEF = MN.

Після побудови визначають видимість площин, що перерізуються. На фронтальній площині вона визначена за допомогою фронтально конкуруючих точок 1 і 5. Для визначення видимості на горизонтальній площині проекцій використані горизонтально конкуруючі точки 6 і 7.

На рис. 4.5,б ця лінія перерізу побудована за допомогою додаткової проекції даних площин на площину П₄, відносно якої площина DEF займає проеціююче положення. Додаткову проекцію побудовано за умови, що горизонталь h € DEF проеціюється в точку на площині П₄ _|_ h. Нові лінії зв'язку проведені через горизонтальні проекції точок А,В,С,D,E,F паралельно h₁, а нова вісь проекцій П₁/П₄ _|_ h₁. Заміряні на площині П₂ висоти точок визначають їх проекції на площині П₄.

а)

б)

Рисунок 4.5

A₄B₄C₄ ∩ D₄E₄F₄ = M₄K₄, тому що А₄В₄ ∩ D₄E₄F₄ = М₄ і В₄С₄ ∩ D₄E₄F₄ = К₄. За напрямком нових ліній зв'язку визначаємо горизонтальну проекцію лінії МК (М₁К₁). Відмічаємо точку перетину сторони EF з лінією МК: E₁F₁ ∩ M₁K₁ = N₁. Точки відрізка NK не мають спільних точок із площиною DEF.

Площини, які перерізуються в окремому випадку можуть бути перпендикулярними. Для виявлення випадків перпендикулярності треба пам'ятати, якщо дві площини взаємно перпендикулярні, то одна з них проходить через перпендикуляр до іншої. Дві площини в загальному випадку можуть перерізатися в нескінченності. Тоді має місце паралельність цих площин. При виявленні цього випадку варто враховувати, що в паралельних площин дві прямі, які перетинаються в одній площині паралельні двом прямим, що перетинаються в іншій площині.