3 Проекції точки, прямої та площини. Комплексне креслення

Комплексне креслення точки

Щоб побудувати зображення предмета, спочатку зображують окремі його елементи у вигляді найпростіших елементів простору. Так, зображуючи геометричне тіло, варто побудувати його вершини, представлені точками; ребра, представлені прямими і кривими лініями; грані, представлені площинами тощо.

Правила побудови зображень на кресленнях в інженерній графіці ґрунтуються на методі проекцій. Одне зображення (проекція) геометричного тіла не дозволяє судити про його геометричну форму або форму найпростіших геометричних образів, що складають це зображення. Таким чином, не можна судити про положення точки в просторі за однією її проекцією; положення її в просторі визначається за двома проекціями.

Розглянемо приклад побудови проекції точки А, розташованої в просторі двогранного кута (рис. 3.1). Одну з площин проекції розташуємо горизонтально, назвемо її горизонтальною площиною проекцій і позначимо буквою П₁. Проекції елементів простору на ній будемо позначати з індексом 1: А₁, а₁, Σ₁ ... і називати горизонтальними проекціями (точки, прямої, площини).

Рисунок 3.1

Другу площину розташуємо вертикально перед спостерігачем, перпендикулярно до першої, назвемо її фронтальною площиною проекцій і позначимо П₂. Проекції елементів простору на ній будемо позначати з індексом 2: А₂, a₂, Σ₂ і називати фронтальними проекціями (точки, прямої, площини). Лінію перетинання площин проекцій назвемо віссю проекцій.

Спроеціюємо точку А ортоґонально на обох площин проекцій:

АА₁_|_ П₁; AА₁ ∩ П₁ = A₁;

АА₂_|_ П₂; AА₂ ∩ П₂ = A₂ .

Проеціюючі АА₁ і АА₂ взаємно перпендикулярні та створюють у просторі проеціюючу площину АА₁ АА₂, перпендикулярну до обох площин проекцій. Ця площина перетинає площини проекцій по лініях, що проходять через проекції точки А.

Щоб одержати плоске креслення, сполучимо горизонтальну площину проекцій П₁ із фронтальною площиною П_2, обертаючи навколо осі П₂/П₁ (рис. 3.2, а). Тоді обидві проекції точки виявляться на одній лінії, перпендикулярній до осі П₂/П₁. Пряма А₁А₂, що з'єднує горизонтальну А₁ і фронтальну А₂ проекції точки, називається вертикальною лінією зв'язку.

Рисунок 3.2

Отримане плоске креслення називається комплексним кресленням. Воно являє собою зображення предмета на декількох сполучених площинах. Комплексне креслення, що складається з двох ортоґональних проекцій, пов'язаних між собою, називається двопроекційним. На цьому кресленні горизонтальна і фронтальна проекції точки завжди лежать на одній вертикальній лінії зв'язку.

Дві пов'язані між собою ортоґональні проекції точки однозначно визначають її положення відносно площин проекцій. Якщо визначити положення точки А відносно цих площин (рис. 3.2, б) її висотою h (АА₁ = h) і глибиною f (AA₂ = f), то ці величини на комплексному кресленні існують як відрізки вертикальної лінії зв'язку. Це дозволяє легко реконструювати креслення, тобто визначити за кресленням положення точки відносно площин проекцій. Для цього досить у точці А₂ креслення відновити перпендикуляр до площини креслення (вважаючи її фронтальною) довжиною, яка дорівнює глибині f. Кінець цього перпендикуляра визначить положення точки А відносно площини креслення.

Елементи трипроекційного комплексного кресленняточки

Для визначення положення геометричного тіла в просторі й одержання додаткових відомостей на їх зображеннях може виникнути необхідність побудови третьої проекції. Тоді третю площину проекцій розташовують праворуч від спостерігача перпендикулярно одночасно до горизонтальної площини проекцій П₁ і фронтальної площини проекцій П₂ (рис. 3.3 а); назвемо її профільною площиною проекцій і позначимо П₃. У результаті перетинання фронтальної П₂ і профільної П₃ площин проекцій одержуємо нову вісь П₂/П₃, що розташовується на комплексному кресленні паралельно до вертикальної лінії зв'язку A₁A₂ (рис. 3.3, б). Третя проекція точки А – профільна – виявляється пов'язаною з фронтальною проекцією А₂ новою лінією зв'язку, яку називають горизонтальною. Фронтальна і профільна проекції точки завжди лежать на одній горизонтальній лінії зв'язку. Причому А₁А₂ _|_ П₂/П₁ і А₂А₃ _|_ П₂/П₃.

Положення точки в просторі в цьому випадку характеризується її широтою – відстанню від неї до профільної площини проекцій П₃, яку позначимо буквою р.

Рисунок 3.3

Отримане комплексне креслення точки називається трипроекційним.

У трипроекційному кресленні глибина точки А проеціюється без спотворення на площину П₃ (рис. 3.3, а). Це дозволяє побудувати третю - фронтальну проекцію точки А за її горизонтальною А₁ і фронтальною А₂ проекціями (рис. 3.3, б). Для цього через фронтальну проекцію точки потрібно провести горизонтальну лінію зв'язку. Потім у будь-якому місці на кресленні провести вісь проекцій, виміряти глибину f точки на горизонтальному полі проекції та відкласти її по горизонтальній лінії зв'язку від осі проекцій. Одержимо профільну проекцію А₃ точки А.

Таким чином, на комплексному кресленні, що складається з трьох ортоґональних проекцій точки, дві проекції знаходяться на одній лінії зв'язку; лінії зв'язку перпендикулярні до відповідних осей проекцій; дві проекції точки цілком визначають положення її третьої проекції.

Необхідно зазначити, що на комплексних кресленнях, як правило, не обмежують площини проекцій і положення їх задають осями (рис. 3.3, в).

Прямокутні координати точок

Три основні площини проекцій (П₁ _|_ П₂ _|_ П₃) можуть розглядатися і як координатні площини. Тоді осі проекцій стають координатними осями: П₁/П₂ – віссю абсцис х, П₁/П₃ – віссю ординат у, П₂/П₃ – віссю аплікат z.

Початок координат (точка О) розташовується в точці перетинання осей координат (рис. 3.9, а).

Щоб віднести точку А до натуральної системи координат Oxyz, треба побудувати ортоґональну проекцію точки А на площині хОу. Потім проекцію А₁ ортоґонально проеціювати на вісь х у точку Ах. Тоді одержимо просторову координатну ламану АА₁АxО, відрізки якої паралельні осям координат і відповідно називаються: ОАx – відрізок абсцис; АxА₁ – відрізок ординат; А₁А – відрізок аплікат.

Вимірявши координатні відрізки, одержимо три абстрактні числа - три координати точки А:

х = OAx – абсциса; у = AxA₁ – ордината; z = AA₁ – апліката.

Якщо точка задана своїми координатами А (х, у, z), то можна побудувати її комплексне креслення, задавши відповідну одиницю довжини. Абсциса точки визначає положення вертикальної лінії зв'язку (рис. 3.4, б). Горизонтальна проекція точки визначається величиною ординати, а фронтальна - величиною аплікати.

Рисунок 3.4

Комплексне креслення прямої лінії

Незважаючи на те, що пряму лінію в просторі можна визначити положенням двох її точок, для побудови її на кресленні досить виконати комплексне креслення цих двох точок, а потім з'єднати однойменні проекції точок прямими лініями. При цьому одержуємо відповідно горизонтальну і фронтальну проекції прямої. На рис. 3.5, а показано пряму l і точки А і В, що їй належать. Для побудови фронтальної проекції прямої l₂ досить побудувати фронтальні проекції точок А₂ і В₂ і з'єднати їх прямими. Аналогічно будується горизонтальна проекція l₁, що проходить через горизонтальні проекції точок А₁ і В₁. Після сполучення площини П₁ із площиною П₂ одержимо двопроекційне комплексне креслення прямої l (рис. 3.5, б).

Рисунок 3.5

Профільну проекцію прямої можна побудувати за допомогою профільних проекцій точок А і В. Крім того, профільну проекцію прямої можна побудувати, використовуючи різницю відстаней двох її точок до фронтальної площини проекцій, тобто різницю глибин точок (рис. 3.5, в). У цьому випадку відпадає необхідність наносити осі проекцій на креслення. Цей спосіб, як більш точний, і використовується в практиці виконання технічних креслень.

Розташування прямої відносноплощин проекцій

Відносно площин проекцій пряма може займати різне положення. Пряму, не паралельну ні одній з основних площин проекцій (рис. 3.5), називають прямою загального положення. Пряму, паралельну чи перпендикулярну до однієї із площин проекцій, називають прямою особливого положення.

Прямі, паралельні одній з площин проекцій, називають прямими рівня. Назва їх залежить від того, якій площині вони паралельні. Пряму, паралельну горизонтальній площині проекцій, називають горизонталлю і позначають на кресленнях h (рис. 3.6).

Пряму, паралельну фронтальній площині проекцій, називають фронталлю і позначають f (рис. 3.7).

Рисунок 3.6 Рисунок 3.7

Пряму, паралельну профільній площині проекцій, називають профільною і позначають р (рис. 3.8).

Рисунок 3.8

У прямої рівня одна проекція паралельна самій прямій і визначає кути нахилу цієї прямої до двох інших площин проекцій.

Паралельність однієї з площин проекцій визначає розташування двох інших проекцій прямої рівня:

h₂ || П₂/П₁, h₃ _|_ П₂/П₃;

f₂ || П₂/П₁, f₃ || П₂/П₃;

p₁ _|_ П₂/П₁, p₂ _|_ П₂/П₁;

Проекції h₂ і f₁ перпендикулярні до вертикальних ліній зв'язку; р₁ і р₂ розташовуються на одній вертикальній лінії зв'язку і при двопроекційному кресленні повинні бути визначені двома точками прямої р.

Прямі, перпендикулярні до однієї із площин проекцій, називаються проеціюючими. Ці прямі, перпендикулярні до однієї площини проекцій, виявляються паралельними до двох інших площин проекцій. Тому в проеціюючих прямих, одна проекція перетворюється на точку, а дві інші проекції, паралельні самій прямій і збігаються на кресленні з напрямком лінії зв'язку (рис. 3.9). Розрізняють горизонтально проеціюючі прямі (АВ), фронтально проеціюючі прямі (CD) і профільно проеціюючі (EF).

Рисунок 3.9

Взаємне розташування двох прямих

Дві прямі простору можуть мати різне розташування (рис. 3.10). Вони можуть збігатися (а ≡ b), бути паралельними (c || d), перетинатися (m ∩ n) і бути мимобіжними (k l).

Якщо дві прямі паралельні, то на комплексному кресленні (рис. 3.11, а) їх однойменні проекції паралельні.

Якщо дві прямі перетинаються в деякій точці М, то проекції цієї точки повинні належати однойменним проекціям прямих, тобто точки перетину однойменних проекцій пересічних прямих повинні лежати на одній лінії зв'язку (рис. 3.11, б): m ∩ n = M → {m₁ ∩ n₁ = M₁; m₂ ∩ n₂= М₂}.

Якщо дві прямі мимобіжні, то їх однойменні проекції можуть перетинатися в точках, що не лежать на одній лінії зв'язку (рис3.11, в): a b → а₁ ∩ b₁ = А₁ (1₁) – горизонтально конкуруючі точки; а₂ ∩ b₁ = В₂ (1₁) – фронтально конкуруючі точки. В іншому випадку одна пара проекцій буде перетинатися, а друга – може бути паралельними прямими (рис. 3.11, г): K l → {k₂ ∩ l₂; k₁ || l₁}.

Рисунок 3.10

Рисунок 3.11

Варто звернути увагу на особливі випадки визначення взаємного розташування двох прямих у просторі. Якщо одна з них (рис. 3.12, а) чи обидві (рис. 3.12, б) виявляться профільними прямими, то для визначення їх взаємного розташування необхідно побудувати третю, профільну проекцію цих прямих. Якщо розглядати рис. 3.12, а, можна помилково зробити припущення, що прямі АВ і CD перетинаються. Однак, якщо побудувати профільні проекції цих прямих, стане видно, що вони схрещуються, тому що точки 1 і 2 не збігаються, а є фронтально конкуруючими точками. Розглядаючи рис. 4.8, б, можна помилково припустити, що прямі АВ і CD паралельні. Але після побудови їх профільних проекцій побачимо, що вони схрещуються, тому що на цій площині проекції їх перетинаються.

Рисунок 3.12

Дві прямі, які перетинаються, або паралельні, можуть мати спільну проеціюючу площину (рис3.13, а). Тоді їх зображення на відповідну площину проекцій збігаються. Такі прямі називають конкуруючими: a ∩ b = A → {а₂ ∩ b₂ = А₂; а₁ ≡ b₁, A₁ ≡ а₁ (b₁)}.

Прямі а і b горизонтально конкуруючі, мають загальну горизонтально проеціюючу площину (рис. 3.13, б). Прямі с і d (рис. 3.13, в) - фронтально конкуруючі, мають загальну фронтально проеціюючу площину.

Рисунок 3.13