8 Аксонометричні проекції

Загальні відомості про аксонометричні проекції

Під час виконання технічних креслень у ряді випадків виявляється необхідним поряд із зображенням предметів у прямокутних проекціях мати і наочні їх зображення. Це необхідно для забезпечення можливості більш повно виявити конструктивні рішення, закладені в зображенні предмета, правильно уявити положення його в просторі, оцінити пропорції його частин і розміри.

Наочні зображення на деяких кресленнях можуть застосовуватися і незалежно від прямокутних зображень, наприклад, при зображенні схем електропостачання і теплопостачання будинків і споруд.

Існують різні способи побудови наочних зображень. До них належать аксонометричні, афінні й векторні проекції, а також лінійна перспектива. У даному навчальному посібнику розглядаються тільки аксонометричні проекції

Побудова аксонометричних проекцій полягає в тому, що геометричну фіґуру разом з осями прямокутних координат, до яких ця фіґура належить у просторі, паралельними (прямокутним чи косокутним) способами проеціюють на вибрану площину проекцій. Таким чином, аксонометрична проекція – це проекція на одну площину. При цьому напрямок проеціюювання вибирають так, щоб воно не збігалося з жодною з координатних осей.

При побудові аксонометричних проекцій зображуваний предмет пов'язують з натуральною системою координат Oxyz. У цілому аксонометричне креслення складається з паралельної проекції предмета, доповненої зображенням координатних осей з натуральними масштабними відрізками по цих осях. Назва "аксонометрія" й утворилася від слів – аксон – вісь і метрео – вимірюю.

Утворення аксонометричної проекції розглянемо на прикладі побудови аксонометричної точки А, віднесеної до натуральної системи координат Oxyz (рис. 8.1). Натуральні координати точки А утворюються виміром відрізків координатної ламаної АА₁А_ХО натуральним масштабом е. При паралельному проеціюванні за напрямком s на площині аксонометричних проекцій П одержимо аксонометричну проекцію А даної точки, аксонометричну проекцію А^A^₁А^_ХО координатної ламаної та аксонометричну проекцію Оxyz натуральної системи координат, на осях якої будуть знаходитися одиничні аксонометричні масштабні відрізки e_X , e_Y , e_Z .

Аксонометрична проекція А^₁ горизонтальної проекції точки А (первинної) називається вторинною проекцією точки А. Сукупність усіх цих проекцій і складає аксонометрію точки А.

Рис. 8.1

На аксонометричному кресленні вторинна й аксонометрична проекції предмета забезпечують метричну визначеність і зворотність однокартинного зображення.

В аксонометричних проекціях зберігаються всі властивості паралельних проекцій.

На практиці виміри вздовж аксонометричних осей виконують в однакових одиницях – міліметрах, тому одиничні натуральні масштабні відрізки та їх аксонометрію на кресленнях не вказують.

Коефіцієнти спотворення по осях в аксонометрії визначають відношенням аксонометричних координатних відрізків до їх натуральної величини при однакових одиницях виміру.

Натуральні коефіцієнти спотворення позначають:

по осі х: u = OА¹_X/OA_X; по осі y: v = A^_XA^₁/A_XA₁; по осі z: w = A^₁А^/A₁A

Види аксонометричних проекцій

Аксонометричні проекції залежно від напрямку проеціювання поділяють на: косокутні, коли напрямок проеціювання не перпендикулярний до площини аксонометричних проекцій; прямокутні, коли напрямок проеціювання перпендикулярний до площини аксонометричних проекцій.

Залежно від порівняльної величини коефіцієнтів спотворення по осях розрізняють три види аксонометрії: ізометрія – усі три коефіцієнти перекручування рівні між собою (u = v = w); диметрія – два коефіцієнти спотворення рівні між собою і відрізняються від третього (u ≠ v = w, або u = v ≠ w, або u = w ≠ v); триметрія - усі три коефіцієнти спотворення не рівні між собою (u ≠ v ≠ w).

Основне положення аксонометрії сформульовано німецьким геометром К. Польке: три довільні довжини відрізка прямих, що лежать в одній площині і виходять з однієї точки під довільними кутами один до одного, являють собою паралельну проекцію трьох рівних відрізків, відкладених на прямокутних координатних осях від початку.

Відповідно до цієї теореми будь-які три прямі в площині, що виходять з однієї точки і не співпадають між собою, можна взяти за аксонометричні осі. Будь-які відрізки довільної довжини цих прямих, відкладені від точки їх перетину, можна взяти за аксонометричні масштаби.

Ця система аксонометричних осей і масштабів є паралельною проекцією деякої прямокутної системи координатних осей і натуральних масштабів, тобто аксонометричні масштаби можна видавати зовсім довільно, а коефіцієнти спотворення при цьому пов'язані наступним співвідношенням: u² + v² + w² = 2 + ctg² (φ), де φ - кут між напрямком проеціювання і площиною аксонометричних проекцій (рис. 9.1). Для прямокутної аксонометрії, коли φ = 90°, це співвідношення набуває вигляду: u² + v² + w² = 2 (1), тобто сума квадратів коефіцієнта спотворення дорівнює двом.

При прямокутному проеціюванні може бути отримана тільки одна ізометрична проекція і нескінченна безліч діметричних і триметричних проекцій. ДСТ 2.317-69 передбачає застосування в інженерній графіці двох прямокутних аксонометрій: прямокутну ізометрію і прямокутну диметрію з коефіцієнтами спотворення u = w = 2v.

Прямокутна ізометрія

Прямокутна ізометрія характеризується тим, що коефіцієнти спотворення складають 0,82. Їх одержують зі співвідношення (1). Для прямокутної ізометрії одержуємо: Зu² = 2, чи u=v=w = (2/3)^1/2 ≈ 0.82, тобто відрізок координатної осі завдовжки 100 мм у прямокутній ізометрії зобразиться відрізком аксонометричної осі завдовжки 82мм. При практичних побудовах використовувати такі коефіцієнти спотворення не зовсім зручно, тому ДСТ 2.317–69 рекомендує використовувати наведені коефіцієнти: u = v = w = 1.

Побудоване в такий спосіб зображення буде більше ніж сам предмет в 1,22 раза, тобто масштаб зображення в прямокутній ізометрії буде М_А 1,22 : 1.

Аксонометричні осі в прямокутній ізометрії розташовуються під кутом 120° одна до одної (рис. 8.2). Зображення кіл в аксонометрії викликають інтерес, особливо, якщо кола належать координатним чи їм паралельним площинам.

У загальному випадку коло проеціюється в еліпс, якщо площина кола розташована під кутом до площини проекції. Отже, аксонометрією кола буде еліпс. Для побудови прямокутної аксонометрії кіл, що лежать у координатних чи їм паралельних площинах, використовують правило: велика вісь еліпса перпендикулярна до аксонометрії тієї координатної осі, що вітсутня у площині кола.

Рис. 8.2

Рис. 8.3

У прямокутній ізометрії рівні кола, розташовані в координатних площинах, проецюються в рівні еліпси (рис. 8.3).

Розміри осей еліпсів при використанні наведених коефіцієнтів спотворення дорівнюють: велика вісь 2а = 1,22d, мала вісь 2b = 0,71d, де d - діаметр зображуваного кола.

Діаметри кіл, паралельних координатним осям, проеціюються відрізками, паралельними ізометричним осям, і зображуються рівними діаметру кола: l¹ = l² = l³ = d, при цьому l¹ || x; l² || y; l³ || z.

Еліпс, як ізометрію кола, можна побудувати за вісьмома точками, що обмежують його велику і малу осі та проекції діаметрів, паралельних координатним осям.

У практиці інженерної графіки еліпс, який є ізометрією кола, що лежить у координатній чи їй паралельній площині, можна замінити чотирицентровим овалом, що має такі ж осі: 2a = 1,22d = CD і 2b = 0,71d = АВ.

На рис. 8.4 показано побудову осей такого овалу для ізометрії кола діаметром d.

Рис. 8.4

Для побудови аксонометрії кола, розташованого в проеціюючій площині, чи площині загального положення, потрібно виділити на колі деяке число точок, побудувати аксонометрію цих точок і з'єднати їх плавною кривою; одержимо шуканий еліпс – аксонометрію кола (рис. 8.5).

Рис. 8.5

На колі, розташованому в горизонтально проеціюючій площині, узято вісім точок (1,2,... 8). Саме коло віднесене до натуральної системи координат (рис. 8.5,а). Проводимо осі еліпса прямокутної ізометрії та, використовуючи наведені коефіцієнти спотворення, будуємо вторинну проекцію кола 1₁ ,..., 5₁ по координатах х і у (рис. 8.5,б). Добудовуючи аксонометричні координатні ламані для кожної з восьми точок, одержуємо їхню ізометрію (1, 2, ... 8). З'єднуємо плавною кривою ізометричні проекції всіх точок і одержуємо ізометрію заданого кола.

Зображення геометричних поверхонь у прямокутній ізометрії розглянемо на прикладі побудови стандартної прямокутної ізометрії зрізаного прямого колового конуса (рис. 8.6).

На комплексному кресленні зображено конус обертання, зрізаний горизонтальною площиною рівня, яка розташована на висоті z від нижньої основи, і профільною площиною рівня, яка дає в перерізі на поверхні конуса гіперболу з вершиною в точці А. Проекції гіперболи побудовані за окремими її точками.

Рис. 8.6

Віднесемо конус до натуральної системи координат Oxyz. Побудуємо проекції натуральних осей на комплексному кресленні й окремо їх ізометричну проекцію. Побудову ізометрії починаємо з побудови еліпсів верхньої та нижньої основ, що є ізометричними проекціями кіл. Малі осі еліпсів збігаються з напрямком ізометричної осі Оz (рис. 8.3). Великі осі еліпсів перпендикулярні до малих. Величини осей еліпсів визначаються залежно від величини діаметра кола (d - нижньої основи і d₁ - верхньої основи). Потім будують ізометрію перерізу конічної поверхні профільною площиною рівня, яка перерізує основу по прямій, що віддалена від початку координат на величину х_A і паралельна осі Оу.

Ізометрію точок гіперболи будують за координатами, які заміряють на комплексному кресленні, та відкладається без зміни вздовж відповідних ізометричних осей, тому що наведені коефіцієнти спотворення u = v = w = 1. Ізометричні проекції точок гіперболи з'єднуємо плавною кривою. Побудову зображення конуса закінчують проведенням обрисових твірних дотичних до еліпсів основ. Невидиму частину еліпса нижньої основи проводяться штриховою лінією.

Прямокутна диметрія

Прямокутна диметрія характеризується тим, що коефіцієнти спотворення, визначені з виразу (1), u = w = 0,94, a v = 0,47. Визначають їх у такий спосіб: u²+(u/2)²+u² = 2; u² = 8/9; u = w = (8/9)^1/2 = 0,94; v = 0,47.

Відповідно до ДСТ 2.317–69 для практичних побудов у прямокутній диметрії використовують наведені коефіцієнти спотворення: u = w = 1 і v = 0,5.

Розташування осей стандартної прямокутної диметрії показане на рис. 8.7. Аксонометричний масштаб для прямокутної диметрії буде М_A 1,06 : 1.

Рис. 8.7

У прямокутній диметрії однакові кола діаметра d, що лежать у координатних площинах xОy й yОz, проеціюються в однакові еліпси, велика вісь яких дорівнює 2а = 1,06d, а мала – 2b = 0,35d, якщо використовувати наведені коефіцієнти спотворення. Коло, розташоване в площині xOz, проеціюється в еліпс з осями: велика вісь дорівнює 2а = 1,06d, мала вісь – 2b = 0,95d (рис. 8.8). Діаметри кола, паралельні координатним осям, спроеціюються у відрізки, паралельні осям диаметрії l¹ = l² = d; l³ = 0,5d, при цьому l¹ || Ох; l² || Оу; l³ || Oz.

Можна побудувати, крім зазначених точок, ще чотири точки, симетричні точкам, які обмежують проекції діаметрів, паралельних координатним осям. Тоді еліпс, як диметрію кола, можна побудувати по його дванадцяти точках.

Рис. 8.8

Зображення геометричних поверхонь у прямокутній диметрії розглянемо на прикладі побудови стандартної прямокутної диметрії прямого колового циліндра. На рис. 8.9 наведено приклад комплексного креслення порожнього циліндра висотою Н із зовнішнім d і внутрішнім d₁ діаметрами. Циліндр розташуємо натуральної величини в натуральній системі координат Oxyz, відносно якої побудуємо диметричну його проекцію. Як і у випадку побудови кіл в ізометрії, у диметрії також почнемо побудову фіґури з еліпсів верхньої та нижньої основ циліндра, що є диметричними проекціями кіл цих основ. Кола основи розташовані в площинах, паралельних горизонтальній площині проекцій, тому, користуючись наведеними раніше правилами, визначимо, що великі осі еліпсів будуть перпендикулярні осі Oz. Малі осі еліпсів збігаються з напрямком осі Oz. Центри осей еліпсів нижньої та верхньої основ розташовані на відстані Н. Величини осей визначаємо залежно від величини зовнішнього і внутрішнього діаметрів циліндрів. Побудувавши еліпси, проведемо обрисові лінії, дотичні до зовнішніх еліпсів.

Рис.8.9

Для наочності побудуємо виріз однієї четвертої циліндра, побудову якого видно з рис. 9.9. Невидимі лінії покажемо штриховими лініями. Для наочності такими самими лініями покажемо лінії вирізаної частини циліндра. Видимі контурні лінії наводять потрібною товщиною.