III. Аксиомы дистрибутивности

(А 6 )  a, b, c  K a (b + c) = a b + a c (дистрибутивность

(А 7)  a, b, c  K (a + b)  c = a c + b c сложения и умножения)

Примеры: 1. (Z , +,  ), (Q , +,  ), (R , +,  ), (C , +,  ) – числовые кольца.

2. (M_nn( F), +,  ) – кольцо квадратных матриц порядка n.

3. (F[x], +, ) – кольцо многочленов от одного переменного x над полем F.

4. (Z_n , +,  ) – кольцо классов вычетов по модулю n.

5. (N, +,  ) – не кольцо.

Определение 1.4. Кольцо (K, +, ∙) называется коммутативным, если выполняется аксиома коммутативности умножения.

(А8):  a, b  G a · b = b · a

Определение 1.5. Кольцо (K, +, ∙) называется кольцом с единицей, если выполняется аксиома существования единицы по умножению:

(А 9):  1  G  a  G a · 1 = a = 1 · a (существование единицы)

Примеры: 1. Все перечисленные кольца являются кольцами с единицами (в кольце матриц единицей будет единичная матрица Е_n).

2. Кольцо матриц (M_nn(F), +, ) при n  2 некоммутативно, остальные перечисленные кольца коммутативны.

3. Кольцо (2Z , +, ) чётных целых чисел является коммутативным кольцом без единицы.

4. Кольцо матриц вида ({ | a, b, c  F}, +, ) является некоммутативным кольцом без единицы.

Определение 1.6. Коммутативное кольцо (F, +,  ) с единицей 1 называется полем, если выполняются следующие аксиомы:

(А10):  a  F (а 0)  a^–1  F a a^–1 = 1 = a^–1 a (обратимость всех ненулевых элементов)

(А11): 1  0 (нейтральные элементы относительно сложения и умножения различны)

Примеры: 1. Среди перечисленных колец полями будут числовые поля (Q,+,), (R , +, ), (C , +, ) и поле классов вычетов (Z_n ,+,  ) по модулю простого числа n = p.

2. Кольцо (Z , +, ) полем не является, т.к. не выполнено (А10).