logo
vse_otvety_33__33__33

2) Любые два базиса конечномерного векторного пространства состоят из одинакового числа векторов.

Определение 3.5. Число векторов в любом базисе ненулевого конечномерного векторного пространства V называется его размерностью и обозначается через dim V.

Замечание 4. По определению, считают размерность нулевого векторного пространства равной 0.

Примеры: 1. Векторное пространство геометрических векторов V2 двухмерно (dim V2 = 2). Его базисы – это любые системы из двух неколлинеарных вектора.

2. Векторное пространство геометрических векторов V3 трёхмерно (dimV3 = 3). Его базисы – это любые системы трёх некомпланарных векторов.

3. Арифметическое векторное пространство Rn является n-мерным. Его стандартным базисом служит система векторов ei = (0, … , 0, 1, 0, … , 0), где 1 i n. (dim R n = n).

4. Векторное пространство решений однородной системы линейных уравнений А Х = 0 , где А Mm n(F) имеет размерность n – rg(A). Его базисом будет любая фундаментальная система решений.

Теорема 3.4. Любой вектор b V единственным образом разлагается по базису (1) (e1, e2, …, en) конечномерного векторного пространства V, то есть представляется в виде b = 1 e1 + 2 e2 + … + n en.

Определение 3.6. Пусть b= 1 e1 + 2 e2 + … + n en – разложение вектора b по базису (1) векторного пространства V над полем F. Упорядоченный набор чисел (1, 2, …, n) из поля F называется координатами вектора b в базисе (1).

Пример. В пространстве R3 система векторов e1 = (1, 0, 0), e2= (0, 2, 0), e3 = (0, 0, 3) базисом. Вектор а = (2, 4, 9) имеет координаты (2, 2, 3) в этом базисе, так как

b = 2 e1 + 2 e2 + 3 e3.