Упражнения.
1. Если один выпуклый многоугольник содержит второй, то периметр первого больше периметра второго.
2. а) Вписанный в круг равносторонний многоугольник имеет равные углы, то есть является правильным.
б) Описанный около круга равноугольный многоугольник имеет равные стороны, то есть является правильным.
3. Среди треугольников с данными основанием и углом при вершине наибольшую площадь (и периметр) имеет равнобедренный треугольник.
4. а) Среди треугольников с данными вписанной окружностью и углом при вершине наименьшее основание имеет равнобедренный треугольник.
б) Среди треугольников с данным углом при вершине и данной вневписанной окружность, касающейся основания и продолжений боковых сторон, наименьшее основание имеет равнобедренный треугольник.
5. Среди треугольников с данными основанием и периметром наибольшую площадь (и угол при вершине) имеет равнобедренный треугольник.
Д окажем, наконец, теорему. Начнем с пункта а). Заметим, что если n-угольник не является вписанным в рассматриваемый круг, то можно построить n-угольник, вписанный в этот круг и имеющий больщую площадь и (см. упражнение 1) больший периметр (см. рис. 4). Если же n-угольник, вписанный в круг, не является правильным, то (см. упражнение 2 а) у него найдутся соседние неравные стороны, которые на рисунке 5 обозначены АВ и ВС. Обозначим В / середину дуги АС (см. рис. 5). Тогда В В / , = и из упражнения 3 следует, что изображенный на рис. 5 n-угольник с вершиной В / вместо В имеет больший периметр и большую площадь. Из сделанных замечаний следует, что если среди всех n-угольников, лежащих в данном круге, существует тот, который имеет наибольщую площадь (периметр), то он обязательно будет правильным n-угольником, вписанным в этот круг.
Очевидную на первый взгляд теорему существования на самом деле не так просто строго доказать, поэтому мы опускаем ее доказательство.
Задача 1. Используя соотношения 6, 2 б) и соотношение между площадью, периметром и радиусом вписанного в n-угольник круга, докажите пункт б).
Доказательство: Заметим, что если n-угольник не описан около окружности , то можно его вписать, при этом уменьшится и площадь и периметр. Тогда рассмотрим из всех описаных около окружности чтырехугольников с наименьшей площадью (и периметром, так как S= rP/2). Если он неправильный, то существуют 2 неравных соседних угла (см. 2 б ). Рассмотрим их, пусть это <A и <B, пусть A’ и B’ лежат на сторонах (или их продолжениях), смежных с АВ как показано на рисунке. Тогда по 4 б) А’B’<AB, по РАОВ = РА’OB’ , где О=АА’∩B’B.
З аметим, что периметры ОАВ и OA’B’ равны, но АВ>A’B’, тогда OA+OB < OA’+OB’
O A’ + AA’+ OB’ – BB’< OA’+OB’
A A’<BB’
(OA’+AA’)(OB’-BB”)<OA’ * OB’, то есть 1/2 ОА*ОВ sinO < ½ OA’OB’ sinO,
SOAB < SOA’B’, тогда площадь многоугольника со стороной A’B’ меньше чем АВ, значит этот многоугольник не наименьший. Значит наименьшим будет равноугольный многоугольный многоугольник, то есть, правильный.
Докажем теперь пункт в). Заметим, что если выпуклый n-угольник не является равносторонним, то можно построить n-угольник с тем же периметром, но большей площадью (см. рис.6, на котором , , площадь треугольника АВ/С, согласно упражнению 6, больше площади ABC) если же n-угольник не является выпуклым, то из упражнения b следует, что существует n-угольник с тем же периметром и большей площадью. Остается показать, что среди выпуклых равносторонних n-угольников с данной стороной наибольшую площадь имеет правильный n-угольник. Для этого придется применить изопериметрическое свойство круга. Сравним площади правильного и неправильного n-угольников, с равными сторонами. Первый из них на этом рисунке вписан в круг, а к сторонам второго приложены сегменты того же круга. Из выпуклости n-угольника следует что эти сегменты не пересекаются, значит, периметры изображенных на рисунке 7 фигур равны, а для сравнения площадей рассматриваемых n-угольников достаточно сравнить площади изображенных фигур. Первая из них — круг, а вторая кругом не является (в противном случае из упражнения 3 а) следовало бы, что и второй л-угольник правильный, что противоречит сделанному предположению). Значит, согласно изопериметрическому свойству круга, вторая фигура имеет меньшую площадь. Теорема доказана.
Следствие. Если выпуклый n-угольник имеет площадь S, периметр Р, лежит в круге радиуса R и содержит круг радиуса r, то справедливы неравенства , каждое из которых может обращаться в равенство, лишь когда n-угольник является правильным.
Для доказательства следствия достаточно заметить, что для правильного n-угольника, вписанного в круг радиуса R и описанного около круга радиуса r, справедливы равенства , и применить теорему 1.
Изложенное доказательство теоремы 1 имеет существенный недостаток: оно опирается на утверждения, которые нельзя строго доказать в рамках школьной программы. Но все прямые (то есть лишенные отмеченных недостатков) доказательства этой теоремы более сложные и их помещать здесь нецелесообразно.
Для дальнейшего понадобятся некоторые вспомогательные понятия, интересные и сами по себе. Их изложению посвящен следующий параграф.
§3. Смешение и симметризация многоугольников
Определение 6. Смешением (полусуммой) двух точечных множеств называется множество середин всех отрезков, концы которых принадлежат этим множествам (один конец первому множеству, а другой — второму).
Упражнения
Упражнение f. Смешением параллельных прямых является прямая, делящая пополам полосу между ними.
б) Смешением отрезков, лежащих на параллельных прямых, является средняя линия трапеции (параллелограмма), образованной этими отрезками.
в) Смешением параллельных полос ширины Н1 и Н2 является параллельная им полоса ширины .
г) Смешением кругов радиуса R1 и R2 является круг радиуса .
Упражнение g. Опорная полоса смешения двух многоугольников является смешением параллельных ей опорных полос этих многоугольников.
Очень важной для дальнейшего является утверждение следующей задачи.
Задача 2. Смешением двух многоугольников Р1 и Р2 является многоугольник Р, для каждой стороны которого найдется параллельная ей сторона одного из многоугольников Р1 или Р2, причем для любой из сторон многоугольников Р1 или Р2 найдется параллельная ей сторона многоугольника Р. Периметр многоугольника Р равен полусумме периметров многоугольников Р1 и Р2.
Определение 7. Многоугольник М* называется симметризацией многоугольника М, если он является смешением многоугольников М и М', центрально-симметричных друг другу относительно некоторой точки О.
На рисунке 9 показана симметризация правильного треугольника. Она ограничена красным шестиугольником.
Задача 3. Докажите, что при симметризации многоугольника получается центрально- симметричный многоугольник, периметр, диаметр и ширина не меняются, а число вершин увеличивается не более чем в два раза.
Упражнение h. Докажите, что центрально-симметричный многоугольник диаметра О и ширины R лежит в круге диаметра О и содержит круг диаметра Н.
После проведенной подготовки можно коротко доказать замечательное неравенство, впервые доказанное в 1922 году К. Рейнхардтом.
§3. Теорема Рейнхардта
Теорема 2. Для ширины, периметра и диаметра любого выпуклого n-угольника справедливы неравенства
,
каждое из которых обращается в равенство, например, для правильного n-угольника при нечетном n.
Доказательство. Рассмотрим вместо n-угольника его симметризацию, которая согласно задаче 3, является выпуклым центрально-симметричным 2m-угольником с теми же периметром, шириной и диаметром. Согласно упражнению h этот 2m-угольник содержит круг диаметра Н и сам содержится в круге диаметра О. Применяя к нему следствие из теоремы 1, получаем неравенство:
.
Так как m n , то неравенства теоремы вытекают из доказанного неравенства и упражнения i.
Упражнение i. Функция х строго возрастает, а функция х строго убывает при х>2.
Доказательства остальных утверждений теоремы содержатся в упражнениях e и 1.
Дополнением к теореме 2 является следующее утверждение.
Задача 4. Площадь выпуклого n-угольника удовлетворяет неравенствам
Левое неравенство обращается в равенство лишь для правильного треугольника, а правое — лишь для правильного n-угольника и только, если n нечетно.
§4. Прикладное значение
Теперь остановимся на прикладной стороне рассмотренной геометрической задачи. Именно, они приводят к оценке физи-ческих величин на основе геометрических данных, менее дос-тупных величин- в терминах более доступных.
Наиболее совершенным симметричым телом является шар. Переходя от данного тела к шару с тем же обьемом, мы умень-шаем площадь его поверхности и придаем ему бесконечное мно-жество плоскостей симметрии. В 1836 году Я.Штейнер изобрел геометрическую операцию, называемой «симметризацией» (мы привели раньше в §3), которая является, грубо говоря, первым шагом радикального превращения тела в шар: симметризация Штейнера придает твердому телу по крайней мере одну плос-кость симметрии, сохраняет его обьем и уменьшает площадь его поверхности.
Используя это понятие многие известные ученые прошлого устанавливали различные свойства физических величин.
1. Г.Миньковский добавил (1899) два новых неравенства к классическому изопериметрическому неравенству, связываю-щему обьем и площадь поверхности выпуклого тела:
а) одно связывает площадь поверхности и интегральную среднюю ширину тела (т.е. усредненное по единичной сфере расстояние между параллельными опорными плоскостями тела);
б) другое- все три величины: обьем, площадь поверхности и среднюю ширину.
2. Лорд Рэлей (1877) установил, что
а) из всех зажатых пластин с данной площадью круг имеет минимальную основную частоту;
б) из всех проводящих пластин с данной площадью круг имеет минимальную электростатическую емкость.
3. А.Пуанкаре установил (1903), что из всех тел с данным обьемом сфера имеет наименьшую электростатическую емкость.
4. Г.Поли и Г.Сегё нашли (1945), электростатическая емкость тела уменьшается при симметризации Штейнера и др.
Все это показывает, что во всех рассмотреныхслучаях- налицо зависимость от геометрической формы. И заметим, что сначала было открыто изопериметрическое неравенство пло-щадью и периметром. Потом были открыты и другие неравен-ства. Все эти неравенства могут быть названы, в широком смысле слова, изопериметрическими неравенствами. Например, следующие величины связаны с плоской областью D:
S-площадь, L-длина периметра, rа – внутренний радиус D относительно точки а, r- максимальный внутренний радиус, r- внешний радиус D, С-электростатическая емкость D, ۸- основная частота D и другие.
Для них можно установить:
L2 ≥4πS, C2≥4S/π3 , r2 ≥S/π≥r2 и другие.
Первое неравенство есть изопериметрическое неравенство: L2 /4π ≥S
В случае пространства, следующие величины зависят от формы и размера тела В (от расположения не зависят):
V-обьем, S- площадь поверхности, C- электростатическая емкость и другие.
С помощью симметризации Я.Штейнера можно установить изопериметрические неравенства:
S3 ≥ 36πV2 , C3 ≥ 3V/4π.
§5.Задачи для исследования
Выше были доказаны неравенства Рейнхардта, связывающие между собой периметр Р, площадь S, диаметр D и ширину Н произвольного выпуклого n-угольника.
Хотим выяснить условия, при которых эти неравенства обращаются в равенства.
Задача 1. Если n нечетно, то для правильного n-угольника неравенства Рейнхардта обращаются в равенства. Если n четно, то это неверно.
Решение: Для n-нечетного пусть а- сторона правильного многоугольника. Рассмотрим рисунок 3 а). Угол, опирающийся на одну сторону равен π/n, тогда а/2/D=sinπ/2n 2Dsinπ/2n=a, так же 2Нtgπ/2n=a, P=an=D2nsinπ/2n=2nНtgπ/2n
Для n-четного, рассмотрим рисунок 3 б). Центральный угол, опирающийся на одну сторону равен 2π/n, тогда а/2/D/2=sinπ/n, а/2/Н/2=tgπ/n, то есть Dsinπ/n=а=Нtgπ/, тогда
D2sinπ/2n › D2sinπ/2ncosπ/2n = Dsinπ/n = Нtgπ/n = =H2tgπ/2n/1-tg2π/2n › Н2tgπ/2n, то есть
D2nsinπ/2n › Р › Н2ntgπ/2n
Задача 2. Если , m=1,2,3,..., то в случае выполнения одного из равенств
= , = выполняется другое.
Многоугольники, для которых выполняются условия задачи 2, называются далее экстремальными. Любой равносторонний n-угольник назовем k-полуправильным, если k и его вершин можно окрасить в белый цвет, а остальные — в черный так, что между каждыми соседними белыми вершинами лежит — 1 черных вершин, углы при белых вершинах равны — — , a углы при черных —1— .
Решение: Из доказательства теоремы Рейнхардта следует, что
Н2ntgπ/2n ≤ Н2mtgπ/2m ≤ P ≤ D2msinπ/2m ≤ D2nsinπ/2n
Если P= Н2ntgπ/2n, то Н2ntgπ/2n=Н2mtgπ/2m=P, но Р- периметр описаного окoло круга диаметра Н 2m-угольника. Если он неправильный, то рассмотрим правильный 2m-угольник с меньшим периметром. По упражнению е он равен Н2ntgπ/2n=P противоречие, значит он правильный. Тогда P=D2msinπ/2m, a так как 2ntgπ/2n= 2mtgπ/2m, то m=n, то есть P=D2msinπ/2m= D2nsinπ/2n Для обратного случая- аналогично.
Задача 3. Если n 2m(m=1,2,3,...)и k — максимальный нечетный делитель n, то k — полуправильный n-угольник является экстремальным.
Задача 4. Найти все экстремальные n-угольники. Впрочем, имеется «алгоритм», позволяющий для любого конкретного n найти все экстремальные n-угольники. С его помощью можно доказать, что:
а) если р — простое, то единственным экстремальным р-угольником является правильный р-угольник;
б) если р — простое и р>2, то единственным экстремальным 2p-угольником является р-полуправильный 2р-угольник (впрочем, других полуправильных 2р-угольников нет);
в) существует только два экстремальных девятиугольника — правильный и 3-полуправильный (других полуправильных девятиугольников нет);
г) для всех остальных n, не равных степени двойки, существуют экстремальные n-угольники, не являющиеся ни правильными, ни полуправильными; все экстремальные n-угольники являются равносторонними;
д) если n =р или n > 2р, р — простое, р>2, то существует один экстремальный л-угольник, а для любого другого n 2k, k=1, 2, 3, .... их существует несколько.
Задача 5. Для любого n = 2k, , найти наилучшие константы hn и dn для которых выполняются неравенства . Найти также все n-угольники, для которых хотя бы одно из них обращается в равенство. Решение этой задачи нам неизвестно. Ясно лишь, что > , dn< . Можно предположить, что .При n=4 это действительно так, в чем можно убедиться, решив задачу 6.
Задача 6. Среди всех выпуклых четырехугольников заданного диаметра найти тот, который имеет наибольший периметр.
Задача 7. Для любого четного п найти наилучшую константу сп ,для которой справедливо неравенство , а также все n-угольники, для которых оно обращается в равенство.
При п>4 решение этой задачи нам неизвестно. Ясно, что . Довольно очевидно, что .
Задача 8. Доказать неравенства , .
При , , эти неравенства неулучшаемы и каждое из них обращается в равенство только для экстремальных n-угольников.
Задача 9. Найти неулучшаемые неравенства для , .
- Казахско-турецкий лицей научное общество учащихся «алтын балалар»
- Аннотация
- Оглавление
- I. Введение……………………………………………………………....
- Глава 1.Изопериметрическая задача.......................................... 1.1 Задача царевны Дидоны.......................................................
- Глава 2.Неравенства для площади и периметра выпуклого многоугольника............................................................................
- Введение
- I. Изопериметрическая задача
- § 1. Задача Дидоны.
- §2. Изопериметрические задачи.
- §3. О попытке решения Штейнера основной изопериметрической задачи.
- §1. Определение выпуклого многоугольника
- Упражнения.
- §1. Диаметр и ширина многоугольника
- Упражнения
- §2. Изопериметрическое и другие экстремальные свойства правильных многоугольников
- Упражнения.
- Заключение
- Использованная литература
- 1. Д.Пойа. 1975 г. Издательство «Наука». «Математика и правдоподобные рассуждения».
- 2. Г.Полиа, г.Сегё. 1962 г. Государственное издательство физико-математической литературы. «Изопериметрические неравенства в математичес-кой физике».
- 3. Роббинс, Курант. 1967 г. Издательство «Наука». «Что такое математика?».