Оглавление

Целью нашей работы является получение некоторых интересных неравенств, связывающих между собой площадь и периметр n-угольника, радиусы «вписанного» и «описанного» кругов и другие его характеристики. С этой целью, сначала рассматриваются экстремальные свойства правильных n-угольников, из среди всех прочих n-угольников. Для точной формулировки и доказательства этих утверждений определяются несколько вспомогательных понятий. В частности они касаются изопериметрических задач, уходящих своими корнями в глубь веков и связанных с конкретными практическими задачами. Ряд утверждений сформулирован для треугольников, прямоугольных n-угольников. Эти данные позволяют доказать неравенства Рейнхардта, связывающие между собой периметр P, площадь S, диаметр D и ширину H произвольного выпуклого n-угольника. Исследован ряд задач, позволяющих выводить условия, при которых эти неравенства переходят в равенства.

Annotation

Aim of our work is to obtain some interesting inequalities connecting the area and the perimeter of n-sided polygon, radii of internal and external circles and its other characteristics.

Firstly the external properties of right n-sided polygons are observed. For exact formulation and proof of these issues some additional concepts are defined. Particularly, they are related to isoperimetric problems, originated from history connected with particular practical problems. Some claims were formed for triangles right n-sided polygons. These facts enable us to prove the Reinhard’s inequalities, connecting the perimeter P, area S, diameter D and the width H of a random convex n-sided polygon.

Some problems helping to establish conditions, under which these inequalities become equalities.