Введение

Еще в древней Греции было известно, что круг имеет большую площадь, чем все другие фигуры с тем же самым периметром, а шар – наибольший объем среди всех тел с одной и той же поверхностью. Первый случай – это один из «очевидных» фактов математики, строгое доказательство которых возможно только на основе новейших методов. Несколько остроумных способов доказательства этой теоремы предложил немецкий геометр Якоб Штейнер. В работе рассмотрено одно из его доказательств. На основании этого доказательства можно считать, что кривая решающая так называемую изопериметрическую проблему, есть, изопериметрическое свойство может быть выражено в форме неравенства. Если L есть длина окружности, то охватываемая ею площадь равна L²/4; поэтому, какова бы ни была замкнутая кривая, непременно оправдывается следующее изопериметри-ческое неравенство, связывающее длину кривой C и охватываемую ею площадь S: S L²/4

Равенство здесь имеет место только в случае окружности.

Более интересные неравенства получаются в том случае, когда рассматриваются экстремальные свойства правильных n- угольников и эти неравенства связывают между собой площадь и периметр n- угольника.