7 Взаємний перетин поверхонь

При взаємному перетині двох поверхонь утворюється лінія, яка у загальному випадку є просторовою кривою, що може розпадатися на дві й більше частин. Причому отримані частини можуть бути плоскими і просторовими, прямими і кривими лініями.

Якщо перерізуються гранні поверхні, у загальному випадку виходить просторова ламана лінія, яка складається з прямолінійних відрізків.

Рисунок 7.1

Лінію перетину двох поверхонь будують за окремими точками. Спочатку в перетині контурних ліній однієї поверхні з іншою визначають і будують опорні точки. Побудова цих точок дозволяє бачити, у яких межах розташовані проекції лінії перерізу і де між ними має сенс побудувати проміжні (чи випадкові) точки. При побудові точок перетину двох поверхонь варто пам'ятати, що проекції цих ліній завжди розташовуються в межах площі накладання однойменних проекцій поверхонь, що перерізуються. На рис. 7.1 зображено дві поверхні, що перерізуються. Площа перерізу – заштрихована. У межах цієї площі й буде розташована лінія перетину заданих поверхонь на даній площині проекцій.

Загальним способом побудови точок лінії перерізу двох поверхонь є спосіб допоміжних поверхонь–посередників. Посередники перерізують задані поверхні по лініях, бажано графічно простих. Тоді в перетині цих ліній знаходять точки, що належать обом поверхням, а виходить, і лінії їх перерізу. Як поверхні-посередники використовують площини чи сфери. Залежно від набутого вигляду посередника іменують і спосіб побудови лінії перерізу: спосіб допоміжних січних площин чи спосіб допоміжних сфер.

Побудова лінії перерізуповерхонь способом допоміжних січних площин

При побудові лінії перерізу двох поверхонь способом допоміжних січних площин – січні площини, узяті як посередники, можуть бути як загального, так і особливого положення. Більш широке застосування знаходять площини особливого положення.

Площини загального положення застосовуються в обмежених випадках. Наприклад, їх зручно використовувати при побудові ліній перерізу конічних і циліндричних, а також пірамідальних і призматичних поверхонь загального вигляду, коли основи цих поверхонь розташовані в одній і тій самій площині.

Розв’язання задачі побудови лінії перерізу двох поверхонь способом допоміжних січних площин розглянемо на прикладі перерізу конуса обертання зі сферою. Як поверхні–посередники візьмемо площини особливого положення – горизонтального рівня. На рис. 7.2 спочатку позначимо очевидні загальні точки А і В поверхонь у перетині їх головних меридіанів f і 1-S-2, тому що поверхні мають загальну фронтальну площину симетрії Ф(Ф₁): f₂ ∩ S₂-2₂ = А₂(В₂); A₂A_l(B₂B_l) || S₂S₁; A₂A_l(B₂B_l) ∩ f₁ = A₁(B₁).

Ці опорні точки є найвищої А і найнижчої В точками лінії перерізу, а також точками видимості лінії на площині П₂.

Брати допоміжні фронтальні площини, паралельні П₂, для побудови наступних точок незручно, тому що вони будуть перетинати конус по гіперболах. Графічні прості лінії (кола паралелей) на даних поверхнях утворюються в результаті перетинання їх горизонтальними площинами рівня Г.

.

Рисунок 7.2

Першу таку допоміжну площину Г¹ беремо на рівні екватора сфери h. Ця площина перетинає конус по паралелі h¹. На перетині цих паралелей знаходяться точки видимості лінії перерізу відносно площини П₁: h₁ ∩ h¹₁ = С₁ (D₁); С₁С₂ (D₁D₂) || S₁S₂; C₁С₂ (D₁D₂) ∩ h₂ (h^l₂) = C₂ (D₂).

Проміжні точки М (N), E (F) знаходять аналогічно за допомогою площин– посередників Г² і Г³.

Якщо поверхні обертання, що перетинаються, не мають загальної фронтальної площини симетрії (рис. 7.3), то найвищу А і найнижчу В точки лінії перерізу легко визначити, побудувавши зображення цих поверхонь на площині П₄, паралельній осьовій площині Σ (Σ₁) даних поверхонь. Можна побудувати проекції всієї лінії перерізу в системі площин П₁_|_П₄, а потім побудувати її фронтальну проекцію в проекційному зв'язку з горизонтальною проекцією, заміряючи висоти точок на площині П₄, оскільки це показано на рис. 7.4 для точок А і В.

Рисунок 7.3

Побудова лінії перерізуповерхонь способом допоміжних сфер

При побудові лінії перерізу поверхонь особливості перерізу співвісних поверхонь обертання дозволяють за допоміжні поверхні–посередники використовувати сфери, співвісні з даними поверхнями.

До співвісних поверхонь обертання належать поверхні, що мають загальну вісь обертання. На рис. 7.5 зображено співвісні циліндр і сфера (рис. 7.5,а), співвісні конус і сфера (рис. 7.5,б) і співвісні циліндр і конус (рис. 7.5,в).

Рисунок 7.5

Співвісні поверхні обертання завжди перетинаються по колах, які розташовані в площинах перпендикулярних до осі обертання. Цих загальних для обох поверхонь кіл стільки, скільки існує точок перетину обрисових ліній поверхонь. Поверхні на рис. 7.5 перерізуються по колах, що створюються точками 1 і 2, перетину їх головних меридіанів.

Допоміжна сфера–посередник перетинає кожну із заданих поверхонь по колу. У перетині цих кіл виходять точки, що належать обом поверхням, а значить, і лінії перерізу.

Якщо осі поверхонь перетинаються, то допоміжні сфери проводять з одного центра – точки перетину осей. Лінію перерізу поверхонь у цьому випадку будують способом допоміжних концентричних сфер.

При побудові лінії перерізу поверхонь для використання способу допоміжних концентричних сфер необхідне виконання наступних умов:

1. перерізання поверхонь обертання;

2. осі поверхонь – прямі, що перетинаються – паралельні одній із площин проекцій, тобто існує загальна площина симетрії;

3. не можна використовувати спосіб допоміжних січних площин, тому що вони не утворюють графічно простих ліній на поверхнях.

Зазвичай спосіб допоміжних сфер використовується у поєднанні зі способом допоміжних січних площин. На рис. 7.6 побудовано лінію перерізу двох конічних поверхонь обертання з осями обертання, які перетинаються у фронтальній площині рівня Ф (Ф₁). Отже, головні меридіани цих поверхонь перетинаються і дають у своєму перетині точки видимості лінії перерізу відносно площини П₂ – найвищу А і найнижчу В точки. У перетині горизонтального меридіана h і паралелі h¹, що лежать в одній допоміжній січній площині Г (Г₂), визначені точки видимості С і D лінії перерізу відносно площини П₁. Використовувати допоміжні січні площини для побудови додаткових точок лінії перерізу недоцільно, тому що площини, паралельні Ф, будуть перерізувати обидві поверхоні по гіперболах, а площини, паралельні Г, будуть давати в перерізі поверхонь кола і гіперболи. Допоміжні горизонтально чи фронтально проеціюючі площини проведені через вершину однієї з поверхонь, будуть перетинати їх по твірних та еліпсах. У даному прикладі виконані умови, які дозволяють застосування способу допоміжних сфер для побудови точок лінії перерізу. Осі поверхонь обертання перетинаються в точці О (О₁;О₂), що є центром допоміжних сфер, радіус сфери змінюється в межах R_mіn < R < R_mах. Радіус максимальної сфери визначається відстанню від центра О до найбільш віддаленої точки В (R_max = О₂В₂), а радіус мінімальної сфери визначається як радіус сфери, що дотична до однієї поверхні (по колу h₂) і перерізує іншу (по колу h₃).

Рисунок 7.6

Площини цих кіл перпендикулярні до осей обертання поверхонь. У перетині цих кіл одержуємо точки Е і F, що належать лінії перерізу поверхонь:

h²₂ ∩ h³₂ = E₂ (F₂); Е₂Е₁ || А₂А₁;

Е₂Е₁ ∩ h²₁ = E₁; F₂F ∩ h₁ = F₁.

Проміжна сфера радіуса R перерізує поверхні по колах h⁴ і h⁵, у перетині яких знаходяться точки М і N:

h⁴₂ ∩ h⁵₂ = M₂ (N₂); M₂M₁ || А₂А₁;

М₂М₁ ∩ h⁴₁ = М₁; N₂N₁ ∩ h⁴₁ = N₁.

З'єднавши однойменні проекції побудованих точок з урахуванням їх видимості, одержуємо проекції лінії перерізу поверхонь.