15 Определение расположения квп по отношению к исходной системе координат.

В данном разделе приведены алгоритмы приведения уравнений кривых второго порядка к каноническому виду и определения расположения канонической системы координат по отношению к исходной.

Пусть дано общее уравнение кривой второго порядка  . Находим инварианты кривой второго порядка: . В случае если   находим еще инвариант По полученным инвариантам определяем тип кривой второго порядка. Возможны следующие случаи:

1. Центральные кривые  .

(a) Составляем характеристическое уравнение   и находим его корни   и   ,причем если  , то   ; a если  , то   тот корень знак которого совпадает со знаком  .

(b) Составляем уравнение кривой в канонической системе координат

(c) Находим центр   кривой, решая систему

(d) Находим главные направления  , которые являются направляющими векторами канонических осей. Подставляя в уравнение   вместо   и   соответственно   и   получаем равенство

 которое можно записать в виде

Следовательно имеем пропорциональность строк этого определителя, т.е.

 или

Поскольку эта система однородная, а вектор   ненулевой, то определитель этой системы должен быть нулевым, т.е.

 .

Таким образом, корням характеристического уравнения соответствуют главные направления кривой второго порядка, определяемые системой  , причем  , а  .

(e) Строим кривую в системе координат   по каноническому уравнению,где

2. Парабола  . (a) По инвариантам составляем уравнение параболы

(здесь знак перед радикалом выбирается противоположным знаку  ).

(b) Находим ось параболы 

(c) Находим вершину параболы   из системы

(d) Из уравнения оси параболы находим направляющий вектор   этой прямой. Если  , то

Если  , то

(e) Строим параболу по каноническому уравнению в системе  . 3. Вырожденный случай  . (a) По инвариантам составляем уравнение

(b) Находим уравнение оси абсцисс канонической системы   или  .

(c) Выбираем произвольно начало системы координат   (любая точка лежащая на прямой из предыдущего пункта)

(d) Находим направляющий вектор оси абсцисс  .Тогда

(e) Строим линию по ее каноническому уравнению в системе  .