12 Сопряженные диаметры кривой второго порядка.

Рассмотрим некоторый вектор неасимптотического направления  . Тогда уравнение диаметра, сопряженного хордам данного направления имеет вид

Из этого уравнения находим координаты направляющего вектора этой прямой

Умножая первое из этих соотношений на  , второе на   и складывая получим

Таково необходимое условие, связывающее координаты ненулевого вектора  , параллельного хордам линии второго порядка, заданной общим уравнением  , и координаты ненулевого вектора  , параллельного диаметру, сопряженному этим хордам. Отметим, что условие   и достаточно, так как из него следует, что

то есть   -- ненулевой вектор, параллельный диаметру  .

ТЕОРЕМА 12.1. Если диаметр   центральной кривой второго порядка является множеством середин хорд, параллельных диаметру  , то диаметр   является множеством середин хорд, параллельных диаметру  .

Доказательство. Пусть диаметр   сопряжен вектору  , а диаметр   -- вектору  . По условию теоремы   параллелен диаметру  . Докажем, что   параллелен диаметру  . По формуле   диаметр   имеет уравнение

Направляющий вектор этой прямой   по условию коллинеарен вектору  . Используя, условие коллинеарности векторов получаем, что

или что то же самое

т.е вектор   -- направляющий вектор прямой   коллинеарен вектору  . Теорема доказана.

Определение 12.1. Два диаметра центральной кривой второго порядка называются сопряженными, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому диаметру.

Условие   можно теперь рассматривать как необходимое и достаточное условие сопряженности двух диаметров центральной кривой. Если   и  , то это условие можно записать в виде

где   и   - угловые коэффициенты сопряженных диаметров.