6 Полная классификация кривых второго порядка

Исследуем подробно каждое из полученных уравнений  I).  Возможны следующие случаи: 1.  . Уравнение   можно переписать в эквивалентной форме . a) Если   и  , то обозначая через   и   соответственно, получим уравнение  , которое определяет эллипс. b) Если   и  , то обозначая через   и   соответственно, получим уравнение  , которое определяет мнимый эллипс (этому уравнению не удовлетворяет ни одна вещественная точка плоскости). c) Если   и   или   и  , то обозначая через   и   или   и   соответственно, получим уравнение  , которое пределяет гиперболу. 2.   Тогда исходное уравнение принимает вид a) Числа   и   одного знака. Без ограничения общности можно считать, что они положительные (иначе обе части уравнения умножим на  ). Тогда обозначив через   и   , получим в этих обозначениях уравнение  , которое определяет две мнимые прямые, пересекающиеся в действительной точке  . b) Числа   и   - числа разных знаков. Будем считать, что   (иначе обе части уравнения умножим на  ). Тогда обозначив через   и   , получим в этих обозначениях уравнение   или , которое определяет две действительные пересекающиеся прямые. II).  . Запишем его в эквивалентном виде   . Обозначим  . В этих обозначениях получим уравнение  , которое определяет параболу. III).  . Перепишем его в виде   и рассмотрим возможные случаи : 1.  . a)   Тогда обозначим   и получим, что уравнение кривой приводится к виду  (или  ), которое определяет пару различных параллельных прямых. b)  . Тогда обозначим   и получим, что уравнение имеет вид  , которое определяет пару мнимых параллельных прямых. 2.  . Тогда уравнение принимает вид  , которое определяет пару совпавших прямых. ВЫВОД. Таким образом, имеется девять и только девять типов кривых второго порядка.